Chứng minh rằng CB là tia phân giác của ^DC

Để chứng minh rằng \( CB \) là tia phân giác của \(\angle DCE\), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và đường trung tuyến.

Giả sử tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) với \( AB = AC \). Đường trung tuyến từ \( A \) đến \( BC \) cắt \( BC \) tại \( D \). Theo tính chất của tam giác cân, đường trung tuyến từ đỉnh cân cũng là đường phân giác và đường cao. Do đó, \( AD \) vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác và đường cao của tam giác \( ABC \).

Bây giờ, ta vẽ điểm \( E \) sao cho \( B \) là trung điểm của \( AE \). Điều này có nghĩa là \( AB = BE \).

Ta cần chứng minh rằng \( CB \) là tia phân giác của \(\angle DCE\).

1. **Xét tam giác \( ABD \) và tam giác \( ACD \):**
- \( AB = AC \) (giả thiết tam giác cân tại \( A \))
- \( BD = DC \) (vì \( D \) là trung điểm của \( BC \))
- \( AD \) là cạnh chung

Do đó, theo định lý cạnh-cạnh-cạnh (CCC), ta có:
\[
\triangle ABD \cong \triangle ACD
\]

Từ đó, suy ra:
\[
\angle BAD = \angle CAD
\]

Điều này có nghĩa là \( AD \) là đường phân giác của \(\angle BAC\).

2. **Xét tam giác \( ABE \) và tam giác \( CBE \):**
- \( AB = BE \) (vì \( B \) là trung điểm của \( AE \))
- \( AC = BE \) (vì \( AB = AC \) và \( AB = BE \))
- \( BC \) là cạnh chung

Do đó, theo định lý cạnh-cạnh-cạnh (CCC), ta có:
\[
\triangle ABE \cong \triangle CBE
\]

Từ đó, suy ra:
\[
\angle ABE = \angle CBE
\]

Điều này có nghĩa là \( BE \) là đường phân giác của \(\angle AEC\).

3. **Xét tam giác \( DCE \):**
- \( \angle DCB = \angle ECB \) (vì \( \triangle ABE \cong \triangle CBE \))

Do đó, \( CB \) là đường phân giác của \(\angle DCE\).

Vậy, ta đã chứng minh rằng \( CB \) là tia phân giác của \(\angle DCE\).