Để giải hệ phương trình đã cho, ta thực hiện các bước sau:

Hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x - 2y = 5 \quad (1) \\
mx - y = 4 \quad (2)
\end{cases} \]

### a) Giải hệ phương trình với \( m = 2 \)

Thay \( m = 2 \) vào phương trình (2):
\[ 2x - y = 4 \quad (2') \]

Hệ phương trình trở thành:
\[ \begin{cases}
x - 2y = 5 \quad (1) \\
2x - y = 4 \quad (2')
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Nhân phương trình (1) với 2:
\[ 2x - 4y = 10 \quad (3) \]

Trừ phương trình (2') cho phương trình (3):
\[ (2x - y) - (2x - 4y) = 4 - 10 \]
\[ 3y = -6 \]
\[ y = -2 \]

Thay \( y = -2 \) vào phương trình (1):
\[ x - 2(-2) = 5 \]
\[ x + 4 = 5 \]
\[ x = 1 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 2 \) là \( (x, y) = (1, -2) \).

### b) Tìm \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) trong đó \( x, y \) trái dấu.

Ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x - 2y = 5 \quad (1) \\
mx - y = 4 \quad (2)
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Nhân phương trình (1) với \( m \):
\[ mx - 2my = 5m \quad (3) \]

Trừ phương trình (2) cho phương trình (3):
\[ (mx - y) - (mx - 2my) = 4 - 5m \]
\[ y(2m - 1) = 5m - 4 \]
\[ y = \frac{5m - 4}{2m - 1} \quad (4) \]

Thay \( y \) vào phương trình (1):
\[ x - 2 \left( \frac{5m - 4}{2m - 1} \right) = 5 \]
\[ x = 5 + \frac{10m - 8}{2m - 1} \]
\[ x = \frac{5(2m - 1) + 10m - 8}{2m - 1} \]
\[ x = \frac{10m - 5 + 10m - 8}{2m - 1} \]
\[ x = \frac{20m - 13}{2m - 1} \quad (5) \]

Để \( x \) và \( y \) trái dấu, ta cần:
\[ \frac{20m - 13}{2m - 1} \cdot \frac{5m - 4}{2m - 1} < 0 \]
\[ (20m - 13)(5m - 4) < 0 \]

Giải bất phương trình này để tìm \( m \).

### c) Tìm \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) thỏa mãn \( x = |y| \).

Ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x - 2y = 5 \quad (1) \\
mx - y = 4 \quad (2)
\end{cases} \]

Với \( x = |y| \), ta xét hai trường hợp:
1. \( x = y \)
2. \( x = -y \)

#### Trường hợp 1: \( x = y \)

Thay \( x = y \) vào phương trình (1):
\[ y - 2y = 5 \]
\[ -y = 5 \]
\[ y = -5 \]
\[ x = -5 \]

Thay \( x = -5 \) và \( y = -5 \) vào phương trình (2):
\[ m(-5) - (-5) = 4 \]
\[ -5m + 5 = 4 \]
\[ -5m = -1 \]
\[ m = \frac{1}{5} \]

#### Trường hợp 2: \( x = -y \)

Thay \( x = -y \) vào phương trình (1):
\[ -y - 2y = 5 \]
\[ -3y = 5 \]
\[ y = -\frac{5}{3} \]
\[ x = \frac{5}{3} \]

Thay \( x = \frac{5}{3} \) và \( y = -\frac{5}{3} \) vào phương trình (2):
\[ m \left( \frac{5}{3} \right) - \left( -\frac{5}{3} \right) = 4 \]
\[ \frac{5m}{3} + \frac{5}{3} = 4 \]
\[ 5m + 5 = 12 \]
\[ 5m = 7 \]
\[ m = \frac{7}{5} \]

Vậy \( m \) có thể là \( \frac{1}{5} \) hoặc \( \frac{7}{5} \).