Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
|x+2| + |y-1| = 4 \\
x + 2y = 1
\end{cases}
\]

Ta sẽ xét các trường hợp của giá trị tuyệt đối.

### Trường hợp 1: \( x + 2 \geq 0 \) và \( y - 1 \geq 0 \)
Khi đó, phương trình đầu tiên trở thành:
\[ (x + 2) + (y - 1) = 4 \]
\[ x + y + 1 = 4 \]
\[ x + y = 3 \]

Kết hợp với phương trình thứ hai:
\[ x + 2y = 1 \]

Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + y = 3 \\
x + 2y = 1
\end{cases}
\]

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:
\[ (x + y) - (x + 2y) = 3 - 1 \]
\[ y - 2y = 2 \]
\[ -y = 2 \]
\[ y = -2 \]

Thay \( y = -2 \) vào phương trình \( x + y = 3 \):
\[ x - 2 = 3 \]
\[ x = 5 \]

### Trường hợp 2: \( x + 2 \geq 0 \) và \( y - 1 < 0 \)
Khi đó, phương trình đầu tiên trở thành:
\[ (x + 2) - (y - 1) = 4 \]
\[ x + 2 - y + 1 = 4 \]
\[ x - y + 3 = 4 \]
\[ x - y = 1 \]

Kết hợp với phương trình thứ hai:
\[ x + 2y = 1 \]

Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x - y = 1 \\
x + 2y = 1
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình lại:
\[ (x - y) + (x + 2y) = 1 + 1 \]
\[ 2x + y = 2 \]
\[ y = 2 - 2x \]

Thay \( y = 2 - 2x \) vào phương trình \( x - y = 1 \):
\[ x - (2 - 2x) = 1 \]
\[ x - 2 + 2x = 1 \]
\[ 3x - 2 = 1 \]
\[ 3x = 3 \]
\[ x = 1 \]

Thay \( x = 1 \) vào phương trình \( y = 2 - 2x \):
\[ y = 2 - 2(1) \]
\[ y = 0 \]

### Trường hợp 3: \( x + 2 < 0 \) và \( y - 1 \geq 0 \)
Khi đó, phương trình đầu tiên trở thành:
\[ -(x + 2) + (y - 1) = 4 \]
\[ -x - 2 + y - 1 = 4 \]
\[ -x + y - 3 = 4 \]
\[ -x + y = 7 \]

Kết hợp với phương trình thứ hai:
\[ x + 2y = 1 \]

Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
-x + y = 7 \\
x + 2y = 1
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình lại:
\[ (-x + y) + (x + 2y) = 7 + 1 \]
\[ 3y = 8 \]
\[ y = \frac{8}{3} \]

Thay \( y = \frac{8}{3} \) vào phương trình \( -x + y = 7 \):
\[ -x + \frac{8}{3} = 7 \]
\[ -x = 7 - \frac{8}{3} \]
\[ -x = \frac{21}{3} - \frac{8}{3} \]
\[ -x = \frac{13}{3} \]
\[ x = -\frac{13}{3} \]

### Trường hợp 4: \( x + 2 < 0 \) và \( y - 1 < 0 \)
Khi đó, phương trình đầu tiên trở thành:
\[ -(x + 2) - (y - 1) = 4 \]
\[ -x - 2 - y + 1 = 4 \]
\[ -x - y - 1 = 4 \]
\[ -x - y = 5 \]

Kết hợp với phương trình thứ hai:
\[ x + 2y = 1 \]

Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
-x - y = 5 \\
x + 2y = 1
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình lại:
\[ (-x - y) + (x + 2y) = 5 + 1 \]
\[ y = 6 \]

Thay \( y = 6 \) vào phương trình \( -x - y = 5 \):
\[ -x - 6 = 5 \]
\[ -x = 11 \]
\[ x = -11 \]

### Kết luận
Các nghiệm của hệ phương trình là:
\[ (x, y) = (5, -2), (1, 0), \left(-\frac{13}{3}, \frac{8}{3}\right), (-11, 6) \]