Để tính các cạnh AB, AC và chứng minh tam giác ABC vuông tại A, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHB và AHC.

1) AH = 12cm, BH = 9cm, CH = 16cm.
- AB = √(AH² + BH²) = √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √225 = 15 cm.
- AC = √(AH² + CH²) = √(12² + 16²) = √(144 + 256) = √400 = 20 cm.
- BC = BH + CH = 9 + 16 = 25 cm.
- Kiểm tra: AB² + AC² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = BC². Vậy tam giác ABC vuông tại A.

2) AH = 4cm, BH = 1cm, CH = 16cm.
- AB = √(AH² + BH²) = √(4² + 1²) = √(16 + 1) = √17 cm.
- AC = √(AH² + CH²) = √(4² + 16²) = √(16 + 256) = √272 = 4√17 cm.
- BC = BH + CH = 1 + 16 = 17 cm.
- Kiểm tra: AB² + AC² = (√17)² + (4√17)² = 17 + 272 = 289 = BC². Vậy tam giác ABC vuông tại A.

3) AH = 24cm, BH = 32cm, CH = 18cm.
- AB = √(AH² + BH²) = √(24² + 32²) = √(576 + 1024) = √1600 = 40 cm.
- AC = √(AH² + CH²) = √(24² + 18²) = √(576 + 324) = √900 = 30 cm.
- BC = BH + CH = 32 + 18 = 50 cm.
- Kiểm tra: AB² + AC² = 40² + 30² = 1600 + 900 = 2500 = BC². Vậy tam giác ABC vuông tại A.

4) AH = 10cm, BH = 25cm, CH = 4cm.
- AB = √(AH² + BH²) = √(10² + 25²) = √(100 + 625) = √725 cm.
- AC = √(AH² + CH²) = √(10² + 4²) = √(100 + 16) = √116 cm.
- BC = BH + CH = 25 + 4 = 29 cm.
- Kiểm tra: AB² + AC² = 725 + 116 = 841 ≠ BC². Vậy tam giác ABC không vuông tại A.

5) AH = 2cm, BH = 1cm, CH = 4cm.
- AB = √(AH² + BH²) = √(2² + 1²) = √(4 + 1) = √5 cm.
- AC = √(AH² + CH²) = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20 cm.
- BC = BH + CH = 1 + 4 = 5 cm.
- Kiểm tra: AB² + AC² = 5 + 20 = 25 = BC². Vậy tam giác ABC vuông tại A.

6) AH = √20cm, BH = 4cm, CH = 5cm.
- AB = √(AH² + BH²) = √((√20)² + 4²) = √(20 + 16) = √36 = 6 cm.
- AC = √(AH² + CH²) = √((√20)² + 5²) = √(20 + 25) = √45 = 3√5 cm.
- BC = BH + CH = 4 + 5 = 9 cm.
- Kiểm tra: AB² + AC² = 36 + 45 = 81 = BC². Vậy tam giác ABC vuông tại A.