Để giải phương trình \((2x - 1)^3 + (x + 2)^3 - (3x + 1)^3 = 0\), ta có thể sử dụng một số phương pháp khác nhau. Một trong những phương pháp hiệu quả là sử dụng công thức tổ hợp và nhận dạng các biểu thức đặc biệt.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng phương trình có dạng tổng của ba lũy thừa bậc ba. Ta có thể kiểm tra xem liệu có giá trị nào của \(x\) mà làm cho từng biểu thức bên trong dấu ngoặc trở thành các số đặc biệt hay không.

Giả sử \(a = 2x - 1\), \(b = x + 2\), và \(c = 3x + 1\). Khi đó, phương trình trở thành:
\[ a^3 + b^3 - c^3 = 0 \]

Ta biết rằng:
\[ a^3 + b^3 - c^3 = (a + b - c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \]

Do đó, ta cần kiểm tra xem liệu \(a + b - c = 0\) có đúng không:
\[ a + b - c = (2x - 1) + (x + 2) - (3x + 1) \]
\[ = 2x - 1 + x + 2 - 3x - 1 \]
\[ = 2x + x - 3x - 1 + 2 - 1 \]
\[ = 0 \]

Như vậy, \(a + b - c = 0\) là đúng. Điều này có nghĩa là:
\[ (2x - 1) + (x + 2) - (3x + 1) = 0 \]

Do đó, phương trình ban đầu trở thành:
\[ (2x - 1)^3 + (x + 2)^3 - (3x + 1)^3 = 0 \]

Vì \(a + b - c = 0\), phương trình này luôn đúng với mọi giá trị của \(x\).

Vậy, nghiệm của phương trình là:
\[ x \in \mathbb{R} \]

Tóm lại, phương trình \((2x - 1)^3 + (x + 2)^3 - (3x + 1)^3 = 0\) có nghiệm là tất cả các số thực \(x\).