Để so sánh \( S \) với \( 5 \cdot 2^{2004} \), ta cần tính tổng của dãy số \( S \) và sau đó so sánh với \( 5 \cdot 2^{2004} \).

Dãy số \( S \) là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và công bội \( r = 2 \). Tổng của một cấp số nhân có \( n \) số hạng được tính theo công thức:
\[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \]

Trong trường hợp này, dãy số có 2006 số hạng (từ \( 2^0 \) đến \( 2^{2005} \)), nên:
\[ S = 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2005} \]
\[ S = \frac{2^{2006} - 1}{2 - 1} = 2^{2006} - 1 \]

Bây giờ, ta cần so sánh \( S \) với \( 5 \cdot 2^{2004} \):
\[ S = 2^{2006} - 1 \]
\[ 5 \cdot 2^{2004} \]

Ta có thể viết lại \( 5 \cdot 2^{2004} \) dưới dạng:
\[ 5 \cdot 2^{2004} = 5 \cdot 2^{2004} = 2^{2004} \cdot 5 \]

So sánh \( 2^{2006} - 1 \) với \( 2^{2004} \cdot 5 \):
\[ 2^{2006} - 1 \quad \text{và} \quad 2^{2004} \cdot 5 \]

Chúng ta có thể viết lại \( 2^{2006} \) như sau:
\[ 2^{2006} = 2^{2004} \cdot 2^2 = 2^{2004} \cdot 4 \]

Do đó:
\[ 2^{2006} - 1 = 2^{2004} \cdot 4 - 1 \]

Bây giờ, so sánh \( 2^{2004} \cdot 4 - 1 \) với \( 2^{2004} \cdot 5 \):
\[ 2^{2004} \cdot 4 - 1 \quad \text{và} \quad 2^{2004} \cdot 5 \]

Rõ ràng là:
\[ 2^{2004} \cdot 4 - 1 < 2^{2004} \cdot 5 \]

Do đó:
\[ S = 2^{2006} - 1 < 5 \cdot 2^{2004} \]

Vậy, \( S \) nhỏ hơn \( 5 \cdot 2^{2004} \).