Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính độ dài cạnh huyền BC:**

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC:**

Sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền:**

- Hình chiếu của cạnh AB (6 cm) lên cạnh huyền BC:
\[
BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{6^2}{10} = \frac{36}{10} = 3.6 \text{ cm}
\]

- Hình chiếu của cạnh AC (8 cm) lên cạnh huyền BC:
\[
CH = \frac{AC^2}{BC} = \frac{8^2}{10} = \frac{64}{10} = 6.4 \text{ cm}
\]

Vậy, độ dài đường cao AH là 4.8 cm, hình chiếu của cạnh AB lên cạnh huyền BC là 3.6 cm, và hình chiếu của cạnh AC lên cạnh huyền BC là 6.4 cm.