Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

### a) Tứ giác BCOM, BCNO là các hình gì?

- **Tứ giác BCOM**:
- Do \(O\) là giao điểm của hai đường phân giác trong của góc \(B\) và góc \(C\), nên \(O\) nằm trên đường thẳng song song với \(BC\).
- Vì \(OM \parallel BC\) và \(OM\) cắt \(AB\) tại \(M\), nên \(BCOM\) là hình thang.

- **Tứ giác BCNO**:
- Tương tự, \(ON \parallel BC\) và \(ON\) cắt \(AC\) tại \(N\), nên \(BCNO\) cũng là hình thang.

### b) Chứng minh \(MN = MB + NC\)

- Vì \(OM \parallel BC\) và \(ON \parallel BC\), nên \(OM\) và \(ON\) là hai đoạn thẳng song song với nhau và cùng nằm trên đường thẳng qua \(O\).
- Do đó, \(MN\) là đoạn thẳng nối hai điểm \(M\) và \(N\) trên hai đường thẳng song song với \(BC\).

- Xét tam giác \(ABO\) và tam giác \(ACO\):
- \(OM \parallel BC\) nên \( \frac{OM}{BC} = \frac{AM}{AB} \).
- \(ON \parallel BC\) nên \( \frac{ON}{BC} = \frac{AN}{AC} \).

- Từ đó, ta có:
- \(OM = MB\)
- \(ON = NC\)

- Vì \(OM\) và \(ON\) là hai đoạn thẳng song song với \(BC\) và cùng nằm trên đường thẳng qua \(O\), nên \(MN = MB + NC\).

Vậy ta đã chứng minh được \(MN = MB + NC\).