Để giải các bất phương trình sau, ta sẽ thực hiện các bước biến đổi tương đương để đưa về dạng đơn giản hơn.

### a) \(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x}{6} > \frac{x + 1}{2}\)

1. Quy đồng mẫu số:
\[
\frac{2x - 1}{3} - \frac{x}{6} = \frac{4x - 2}{6} - \frac{x}{6} = \frac{4x - 2 - x}{6} = \frac{3x - 2}{6}
\]
Do đó, bất phương trình trở thành:
\[
\frac{3x - 2}{6} > \frac{x + 1}{2}
\]

2. Quy đồng mẫu số hai vế:
\[
\frac{3x - 2}{6} > \frac{3(x + 1)}{6}
\]

3. So sánh tử số:
\[
3x - 2 > 3(x + 1)
\]

4. Giải phương trình:
\[
3x - 2 > 3x + 3
\]
\[
-2 > 3
\]
Điều này vô lý, do đó bất phương trình vô nghiệm.

### b) \(\frac{x}{3} - \frac{2x + 1}{2} \geq \frac{x}{6} - x\)

1. Quy đồng mẫu số:
\[
\frac{x}{3} - \frac{2x + 1}{2} = \frac{2x}{6} - \frac{3(2x + 1)}{6} = \frac{2x - 6x - 3}{6} = \frac{-4x - 3}{6}
\]
\[
\frac{x}{6} - x = \frac{x - 6x}{6} = \frac{-5x}{6}
\]

2. Bất phương trình trở thành:
\[
\frac{-4x - 3}{6} \geq \frac{-5x}{6}
\]

3. So sánh tử số:
\[
-4x - 3 \geq -5x
\]

4. Giải phương trình:
\[
-4x - 3 + 5x \geq 0
\]
\[
x - 3 \geq 0
\]
\[
x \geq 3
\]

### c) \(\frac{x - 1}{4} - 1 > \frac{x + 1}{3} + 8\)

1. Quy đồng mẫu số:
\[
\frac{x - 1}{4} - 1 = \frac{x - 1 - 4}{4} = \frac{x - 5}{4}
\]
\[
\frac{x + 1}{3} + 8 = \frac{x + 1 + 24}{3} = \frac{x + 25}{3}
\]

2. Bất phương trình trở thành:
\[
\frac{x - 5}{4} > \frac{x + 25}{3}
\]

3. Quy đồng mẫu số hai vế:
\[
\frac{3(x - 5)}{12} > \frac{4(x + 25)}{12}
\]

4. So sánh tử số:
\[
3(x - 5) > 4(x + 25)
\]

5. Giải phương trình:
\[
3x - 15 > 4x + 100
\]
\[
-15 - 100 > 4x - 3x
\]
\[
-115 > x
\]
\[
x < -115
\]

Kết luận:
- Bất phương trình (a) vô nghiệm.
- Bất phương trình (b) có nghiệm \(x \geq 3\).
- Bất phương trình (c) có nghiệm \(x < -115\).