Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần một. Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh tam giác AED là tam giác cân. Sau đó, chúng ta sẽ chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân.

### Phần a: Chứng minh tam giác AED là tam giác cân

**Bước 1: Vẽ hình**

1. Vẽ tam giác ABC cân tại A.
2. Vẽ đường trung tuyến BD từ đỉnh B đến trung điểm D của cạnh AC.
3. Vẽ đường trung tuyến CE từ đỉnh C đến trung điểm E của cạnh AB.

**Bước 2: Chứng minh tam giác AED cân**

- Vì tam giác ABC cân tại A, nên \(AB = AC\).
- D là trung điểm của AC, do đó \(AD = DC\).
- E là trung điểm của AB, do đó \(AE = EB\).

Xét tam giác ABD và tam giác ACD:
- \(AD = DC\) (D là trung điểm của AC).
- \(AB = AC\) (tam giác ABC cân tại A).
- \(BD\) là đường trung tuyến chung.

Do đó, tam giác ABD và tam giác ACD là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (CCC).

Vì tam giác ABD và tam giác ACD bằng nhau, nên:
- \(\angle BAD = \angle CAD\).

Xét tam giác AED:
- \(AD = AE\) (vì D và E là trung điểm của AC và AB tương ứng).

Do đó, tam giác AED là tam giác cân tại A.

### Phần b: Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân

**Bước 1: Vẽ hình**

1. Vẽ tam giác ABC cân tại A.
2. Vẽ đường trung tuyến BD từ đỉnh B đến trung điểm D của cạnh AC.
3. Vẽ đường trung tuyến CE từ đỉnh C đến trung điểm E của cạnh AB.

**Bước 2: Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân**

- Vì tam giác ABC cân tại A, nên \(AB = AC\).
- D là trung điểm của AC, do đó \(AD = DC\).
- E là trung điểm của AB, do đó \(AE = EB\).

Xét tam giác ABD và tam giác ACD:
- \(AD = DC\) (D là trung điểm của AC).
- \(AB = AC\) (tam giác ABC cân tại A).
- \(BD\) là đường trung tuyến chung.

Do đó, tam giác ABD và tam giác ACD là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (CCC).

Vì tam giác ABD và tam giác ACD bằng nhau, nên:
- \(\angle ABD = \angle ACD\).

Xét tứ giác BCDE:
- \(BD\) và \(CE\) là hai đường trung tuyến của tam giác ABC.
- Do tam giác ABC cân tại A, nên \(BD\) và \(CE\) là hai đường trung tuyến bằng nhau.

Do đó, tứ giác BCDE có hai cạnh đối song song và bằng nhau, tức là \(BD \parallel CE\) và \(BD = CE\).

Vì vậy, tứ giác BCDE là hình thang cân.

### Kết luận

- Tam giác AED là tam giác cân.
- Tứ giác BCDE là hình thang cân.

Hy vọng lời giải trên đã giúp bạn hiểu rõ cách chứng minh hai phần của bài toán.