Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp (O). Lấy điểm M bất kì trên AC (M khác A và C) và gọi D là trung điểm của đoạn MC. Tia BM cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Để chứng minh rằng khi \( M \) thay đổi, đường thẳng \( DE \) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định, ta sẽ đi qua các bước sau:

1. **Xác định các điểm và tính chất của tam giác \( ABC \)**:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) và nội tiếp đường tròn \((O)\) với đường kính \( BC \).
- \( M \) là điểm bất kỳ trên \( AC \) (khác \( A \) và \( C \)).
- \( D \) là trung điểm của đoạn \( MC \).
- Tia \( BM \) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \( E \).

2. **Xác định tính chất của điểm \( E \)**:
- Vì \( E \) nằm trên đường tròn \((O)\), nên \( E \) là điểm đối xứng của \( B \) qua đường thẳng \( AC \).

3. **Xác định tính chất của điểm \( D \)**:
- \( D \) là trung điểm của \( MC \), do đó \( D \) nằm trên đường trung trực của đoạn \( MC \).

4. **Xác định đường tròn cố định**:
- Để chứng minh rằng \( DE \) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định, ta cần tìm một đường tròn mà \( DE \) là tiếp tuyến của nó bất kể vị trí của \( M \) trên \( AC \).

5. **Chứng minh tính chất tiếp tuyến**:
- Xét tam giác \( BMC \) và điểm \( D \) là trung điểm của \( MC \). Khi \( M \) thay đổi, \( D \) di chuyển trên đường trung trực của \( MC \).
- Điểm \( E \) là điểm cố định trên đường tròn \((O)\) khi \( M \) thay đổi.
- Đường thẳng \( DE \) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định nếu khoảng cách từ \( D \) đến điểm tiếp xúc là không đổi.

6. **Xác định đường tròn cố định**:
- Đường tròn cố định mà \( DE \) tiếp xúc có tâm tại trung điểm của đoạn \( BE \) và bán kính bằng nửa độ dài đoạn \( BE \).
- Vì \( E \) là điểm cố định trên đường tròn \((O)\), trung điểm của \( BE \) cũng là điểm cố định.
- Do đó, đường tròn có tâm tại trung điểm của đoạn \( BE \) và bán kính bằng nửa độ dài đoạn \( BE \) là đường tròn cố định mà \( DE \) luôn tiếp xúc.

Tóm lại, khi \( M \) thay đổi, đường thẳng \( DE \) luôn tiếp xúc với đường tròn cố định có tâm tại trung điểm của đoạn \( BE \) và bán kính bằng nửa độ dài đoạn \( BE \).