Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết.

**Phần a: Tam giác ABM là tam giác gì?**

Ta có hình bình hành ABCD với AB < AD. Tia phân giác của góc B cắt AD tại M.

- Vì M nằm trên AD và tia BM là tia phân giác của góc B, nên ta có:
\[
\frac{AM}{MD} = \frac{AB}{BD}
\]
- Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau, do đó:
\[
AB = CD \quad \text{và} \quad AD = BC
\]
- Do đó, ta có:
\[
\frac{AM}{MD} = \frac{AB}{AB} = 1
\]
Điều này có nghĩa là M là trung điểm của AD.

Vì M là trung điểm của AD, tam giác ABM có AM = MD. Do đó, tam giác ABM là tam giác cân tại A.

**Phần b: Chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành**

Ta cần chứng minh rằng tứ giác BMDN có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

1. **Chứng minh BM song song với DN:**

- Tia phân giác của góc D cắt BC tại N, do đó:
\[
\frac{BN}{NC} = \frac{BD}{DC}
\]
- Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau, do đó:
\[
BD = AC \quad \text{và} \quad DC = AB
\]
- Do đó, ta có:
\[
\frac{BN}{NC} = \frac{BD}{BD} = 1
\]
Điều này có nghĩa là N là trung điểm của BC.

2. **Chứng minh BM = DN:**

- Vì M là trung điểm của AD và N là trung điểm của BC, ta có:
\[
BM = \frac{BD}{2} \quad \text{và} \quad DN = \frac{BD}{2}
\]
Do đó, BM = DN.

3. **Chứng minh BD song song với MN:**

- Trong hình bình hành, các cạnh đối song song, do đó BD song song với AC.
- Vì M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC, nên MN là đường trung bình của tam giác ABD và tam giác BCD.
- Do đó, MN song song với BD.

Từ các chứng minh trên, ta có:
- BM song song với DN và BM = DN.
- BD song song với MN và BD = MN.

Vậy tứ giác BMDN có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó tứ giác BMDN là hình bình hành.