Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại M. Chứng minh tam giác AMB = tam giác AMC? Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh: AC song song với BD

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

**Phần a: Chứng minh tam giác AMB = tam giác AMC**

Vì AB = AC và AM là tia phân giác của góc BAC, nên:
- Góc BAM = Góc CAM (do AM là tia phân giác)
- AM là cạnh chung của hai tam giác AMB và AMC
- AB = AC (giả thiết)

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có:
\[ \triangle AMB = \triangle AMC \]

**Phần b: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh: AC song song với BD**

Vì MD = MA và M là trung điểm của AD, nên tam giác AMD là tam giác cân tại M. Do đó, góc MAD = góc MDA.

Xét tam giác AMC và tam giác BMD:
- AM = MD (giả thiết)
- Góc AMC = Góc BMD (do AM là tia phân giác của góc BAC và MD là tia đối của MA)
- AC = AB (giả thiết)

Do đó, theo trường hợp góc-cạnh-góc (g-c-g), ta có:
\[ \triangle AMC = \triangle BMD \]

Vì vậy, góc ACB = góc BDM. Do đó, AC song song với BD (vì hai góc này là hai góc so le trong).

**Phần c: Vẽ tia Ax song song với BC (Tia Ax và điểm B nằm cùng phía đối với đường thẳng AC). Lấy điểm K thuộc tia Ax sao cho AK = BC. Chứng minh ba điểm K, B, D thẳng hàng**

Vì Ax song song với BC và AK = BC, nên tứ giác AKBC là hình bình hành. Do đó, K đối xứng với B qua trung điểm của AC.

Xét tam giác ABD và tam giác AKC:
- AB = AC (giả thiết)
- Góc ABD = Góc AKC (do AC song song với BD và Ax song song với BC)
- AD = AK (do MD = MA và AK = BC)

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có:
\[ \triangle ABD = \triangle AKC \]

Vì vậy, góc ABD = góc AKC. Do đó, ba điểm K, B, D thẳng hàng (vì chúng nằm trên cùng một đường thẳng tạo bởi các góc này).

Vậy ta đã chứng minh xong cả ba phần của bài toán.