Để chứng minh rằng tổng bình phương của hai số nguyên chia hết cho 3, ta cần xem xét các trường hợp của các số nguyên khi chia cho 3. Mỗi số nguyên \( a \) khi chia cho 3 sẽ có một trong ba dư số: 0, 1, hoặc 2. Ta sẽ xem xét từng trường hợp này.

Giả sử \( a \) và \( b \) là hai số nguyên bất kỳ. Khi chia cho 3, \( a \) và \( b \) có thể có các dư số sau:

1. \( a \equiv 0 \pmod{3} \)
2. \( a \equiv 1 \pmod{3} \)
3. \( a \equiv 2 \pmod{3} \)

Tương tự cho \( b \):

1. \( b \equiv 0 \pmod{3} \)
2. \( b \equiv 1 \pmod{3} \)
3. \( b \equiv 2 \pmod{3} \)

Ta sẽ tính bình phương của các trường hợp này và xem xét tổng của chúng.

### Trường hợp 1: \( a \equiv 0 \pmod{3} \)
\[ a^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3} \]

### Trường hợp 2: \( a \equiv 1 \pmod{3} \)
\[ a^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3} \]

### Trường hợp 3: \( a \equiv 2 \pmod{3} \)
\[ a^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3} \]

Tương tự, ta có các kết quả cho \( b \):

### Trường hợp 1: \( b \equiv 0 \pmod{3} \)
\[ b^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3} \]

### Trường hợp 2: \( b \equiv 1 \pmod{3} \)
\[ b^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3} \]

### Trường hợp 3: \( b \equiv 2 \pmod{3} \)
\[ b^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3} \]

Bây giờ, ta sẽ xem xét tổng của \( a^2 \) và \( b^2 \) trong các trường hợp khác nhau:

1. \( a \equiv 0 \pmod{3} \) và \( b \equiv 0 \pmod{3} \)
\[ a^2 + b^2 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \pmod{3} \]

2. \( a \equiv 0 \pmod{3} \) và \( b \equiv 1 \pmod{3} \)
\[ a^2 + b^2 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{3} \]

3. \( a \equiv 0 \pmod{3} \) và \( b \equiv 2 \pmod{3} \)
\[ a^2 + b^2 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \pmod{3} \]

4. \( a \equiv 1 \pmod{3} \) và \( b \equiv 0 \pmod{3} \)
\[ a^2 + b^2 \equiv 1 + 0 \equiv 1 \pmod{3} \]

5. \( a \equiv 1 \pmod{3} \) và \( b \equiv 1 \pmod{3} \)
\[ a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3} \]

6. \( a \equiv 1 \pmod{3} \) và \( b \equiv 2 \pmod{3} \)
\[ a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3} \]

7. \( a \equiv 2 \pmod{3} \) và \( b \equiv 0 \pmod{3} \)
\[ a^2 + b^2 \equiv 1 + 0 \equiv 1 \pmod{3} \]

8. \( a \equiv 2 \pmod{3} \) và \( b \equiv 1 \pmod{3} \)
\[ a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3} \]

9. \( a \equiv 2 \pmod{3} \) và \( b \equiv 2 \pmod{3} \)
\[ a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{3} \]

Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng tổng bình phương của hai số nguyên có thể có các giá trị dư số là 0, 1, hoặc 2 khi chia cho 3. Do đó, tổng bình phương của hai số nguyên không nhất thiết phải chia hết cho 3.

Vì vậy, mệnh đề "Tổng bình phương của hai số nguyên chia hết cho 3" không đúng trong mọi trường hợp.