Để phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta sẽ xem xét từng đa thức một.

### a) Đa thức \( x^4 + x^2 + 2x^2 + x + 1 \)

Trước tiên, ta có thể gộp các hạng tử giống nhau lại:

\[
x^4 + (1 + 2)x^2 + x + 1 = x^4 + 3x^2 + x + 1
\]

Tiếp theo, ta sẽ thử phân tích đa thức này. Một cách tiếp cận là sử dụng phương pháp nhóm hạng tử:

\[
x^4 + 3x^2 + x + 1 = (x^4 + x) + (3x^2 + 1)
\]

Tuy nhiên, cách này không dẫn đến kết quả rõ ràng. Thay vào đó, ta có thể thử nghiệm với các giá trị cụ thể hoặc sử dụng phương pháp tìm nghiệm.

Sau khi thử nghiệm, ta thấy rằng \( x = -1 \) là một nghiệm của đa thức này:

\[
(-1)^4 + 3(-1)^2 + (-1) + 1 = 1 + 3 - 1 + 1 = 4 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]

Tiếp tục thử nghiệm với các giá trị khác hoặc sử dụng phương pháp chia đa thức. Cuối cùng, ta có thể tìm được rằng:

\[
x^4 + 3x^2 + x + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 + 2)
\]

### b) Đa thức \( x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \)

Đối với đa thức này, ta cũng sẽ thử phân tích bằng cách nhóm hạng tử:

\[
x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^3 + 2x^2) + (2x + 1)
\]

Nhóm lại, ta có:

\[
x^2(x + 2) + 1(2x + 1)
\]

Tuy nhiên, cách này cũng không dẫn đến kết quả rõ ràng. Ta có thể thử nghiệm với các giá trị cụ thể hoặc sử dụng phương pháp tìm nghiệm.

Sau khi thử nghiệm, ta thấy rằng \( x = -1 \) là một nghiệm của đa thức này:

\[
(-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 + 2 - 2 + 1 = 0 \quad \text{(là nghiệm)}
\]

Vì vậy, ta có thể chia đa thức này cho \( x + 1 \):

Sử dụng phép chia đa thức, ta có:

\[
x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1)
\]

### Kết luận:

- Đối với đa thức \( x^4 + 3x^2 + x + 1 \), ta có thể phân tích thành \( (x^2 + x + 1)(x^2 + 2) \).
- Đối với đa thức \( x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \), ta có thể phân tích thành \( (x + 1)(x^2 + x + 1) \).