Để tìm tất cả các cặp số thực \((x, y)\) thỏa mãn hai phương trình:

1. \(x^2 + 10y + 25 = 0\)
2. \(y^2 + 10x + 25 = 0\)

Chúng ta sẽ giải từng phương trình.

### Phương trình 1:
Từ phương trình đầu tiên, ta có:
\[
x^2 + 10y + 25 = 0 \implies 10y = -x^2 - 25 \implies y = -\frac{x^2 + 25}{10}
\]

### Phương trình 2:
Từ phương trình thứ hai, ta có:
\[
y^2 + 10x + 25 = 0 \implies 10x = -y^2 - 25 \implies x = -\frac{y^2 + 25}{10}
\]

### Thay thế:
Bây giờ, ta sẽ thay giá trị của \(y\) từ phương trình 1 vào phương trình 2:
\[
x = -\frac{\left(-\frac{x^2 + 25}{10}\right)^2 + 25}{10}
\]

Tính giá trị bên trong:
\[
y^2 = \left(-\frac{x^2 + 25}{10}\right)^2 = \frac{(x^2 + 25)^2}{100}
\]
Thay vào phương trình:
\[
x = -\frac{\frac{(x^2 + 25)^2}{100} + 25}{10}
\]
\[
x = -\frac{(x^2 + 25)^2 + 2500}{1000}
\]

### Giải phương trình:
Để giải phương trình này, ta sẽ nhân cả hai vế với 1000:
\[
1000x = -(x^2 + 25)^2 - 2500
\]
\[
1000x + (x^2 + 25)^2 + 2500 = 0
\]

Đây là một phương trình bậc 4 đối với \(x\). Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta có thể thử tìm các giá trị cụ thể cho \(x\) và \(y\).

### Tìm nghiệm cụ thể:
Giả sử \(x = -5\):
\[
y = -\frac{(-5)^2 + 25}{10} = -\frac{25 + 25}{10} = -\frac{50}{10} = -5
\]
Vậy một cặp nghiệm là \((-5, -5)\).

Kiểm tra lại với phương trình thứ hai:
\[
y^2 + 10x + 25 = (-5)^2 + 10(-5) + 25 = 25 - 50 + 25 = 0
\]
Cặp \((-5, -5)\) thỏa mãn cả hai phương trình.

### Tìm thêm nghiệm:
Giả sử \(x = -10\):
\[
y = -\frac{(-10)^2 + 25}{10} = -\frac{100 + 25}{10} = -\frac{125}{10} = -12.5
\]
Kiểm tra với phương trình thứ hai:
\[
y^2 + 10x + 25 = (-12.5)^2 + 10(-10) + 25 = 156.25 - 100 + 25 = 81.25 \neq 0
\]
Cặp này không thỏa mãn.

### Kết luận:
Sau khi kiểm tra các giá trị khác, ta thấy rằng cặp duy nhất thỏa mãn cả hai phương trình là:
\[
\boxed{(-5, -5)}
\]