Để chứng minh các phần của bài toán liên quan đến tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh ∆ABH ~ ∆CBA

Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có:

- ∠CAB = 90°
- ∠ABH = ∠CBA (cùng là góc B trong tam giác CBA)
- ∠A = ∠A (cùng là góc A)

Vì vậy, theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có:

\[
\Delta ABH \sim \Delta CBA
\]

### b) Tính AB khi biết BH = 4 cm và BC = 11 cm

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AH^2 = BH \cdot HC
\]

Trong tam giác CBA, ta có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Vì ∆ABH ~ ∆CBA, ta có tỉ số giữa các cạnh tương ứng:

\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AH}{AB} \implies AB^2 = AH \cdot BC
\]

Từ đó, ta cần tính AH. Ta có:

\[
BC = BH + HC \implies HC = BC - BH = 11 - 4 = 7 \text{ cm}
\]

Áp dụng định lý đường cao:

\[
AH^2 = BH \cdot HC = 4 \cdot 7 = 28 \implies AH = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}
\]

Bây giờ, thay vào công thức:

\[
AB^2 = AH \cdot BC = (2\sqrt{7}) \cdot 11 = 22\sqrt{7}
\]

Tính AB:

\[
AB = \sqrt{22\sqrt{7}} = \sqrt{22} \cdot \sqrt[4]{7}
\]

### c) Chứng minh AE.CH = AH.FC

Gọi E là điểm bất kỳ trên AB, kẻ HF và HE tại H. Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AH^2 = AE \cdot EC
\]

Và từ tam giác CBA, ta cũng có:

\[
AH^2 = AF \cdot FC
\]

Vì vậy, từ hai phương trình trên, ta có:

\[
AE \cdot EC = AH \cdot FC
\]

Do đó, ta có:

\[
AE \cdot CH = AH \cdot FC
\]

Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu AE.CH = AH.FC.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán liên quan đến tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH.