Để biểu thức \( P = \frac{5x + 3}{x - 4} \) đạt giá trị nguyên, ta cần phân tích biểu thức này.

Ta viết lại biểu thức dưới dạng phân số:
\[ P = \frac{5x + 3}{x - 4} \]

Ta thực hiện phép chia đa thức:
\[ 5x + 3 = (5)(x - 4) + (5 \cdot 4 + 3) = 5(x - 4) + 23 \]

Do đó:
\[ \frac{5x + 3}{x - 4} = 5 + \frac{23}{x - 4} \]

Để \( P \) đạt giá trị nguyên, thì \(\frac{23}{x - 4}\) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x - 4 \) phải là một ước của 23. Các ước của 23 là \(\pm 1\) và \(\pm 23\).

Vậy ta có:
\[ x - 4 = 1 \Rightarrow x = 5 \]
\[ x - 4 = -1 \Rightarrow x = 3 \]
\[ x - 4 = 23 \Rightarrow x = 27 \]
\[ x - 4 = -23 \Rightarrow x = -19 \]

Vậy các giá trị của \( x \) để biểu thức \( P \) đạt giá trị nguyên là \( x \in \{3, 5, 27, -19\} \).