Để chứng minh rằng điểm \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( EF \) trong tam giác \( ABC \) với các đoạn thẳng \( AE \) và \( AF \) được vẽ như trong đề bài, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Đặt tọa độ các điểm**: Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( A(0, 0) \), điểm \( B(b, 0) \) và điểm \( C(c_x, c_y) \).

2. **Xác định tọa độ điểm \( E \) và \( F \)**:
- Từ \( A \), vẽ \( AE \) sao cho \( \angle BAE = 90^\circ \) và \( AE = AB \):
\[
E = (0, AB) = (0, b)
\]
- Từ \( A \), vẽ \( AF \) sao cho \( \angle CAF = 90^\circ \) và \( AF = AC \):
\[
F = (AC \cdot \cos \theta, AC \cdot \sin \theta)
\]
Trong đó \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{c_y}{c_x}\right) \).

3. **Tính toạ độ điểm \( H \)**:
Điểm \( H \) là chân đường vuông góc từ \( A \) đến đường thẳng \( BC \). Tính phương trình đường thẳng \( BC \) và tìm tọa độ \( H \) bằng cách sử dụng hệ số góc và phương trình đường thẳng.

4. **Tính phương trình đường thẳng \( EF \)**:
- Tìm hệ số góc của đoạn thẳng \( EF \) từ \( E \) đến \( F \).

5. **Chứng minh O là trung điểm của EF**:
- Cách dễ nhất là sử dụng tính đối xứng. Bởi vì \( AE = AB \) và \( AF = AC \), vậy ta có hai tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACF \) đồng dạng. Đồng dạng này dẫn đến sự đối xứng của điểm \( O \) đối với hai điểm \( E \) và \( F \).

6. **Sử dụng tọa độ**:
Tính tọa độ của điểm \( O \) bằng cách giải hệ phương trình từ các điểm đã định nghĩa. Chứng minh được rằng tọa độ \( O \) là trung bình của tọa độ \( E \) và \( F \).

Kết luận, bằng các phép toán hình học và tính toán tọa độ, ta có thể kết luận rằng điểm \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( EF \) thông qua các phương trình tương ứng và tính chất đối xứng của hình học.