Để rút gọn biểu thức \( B = \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha + 3\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \), ta có thể áp dụng một số công thức và định lý liên quan đến hàm lượng giác.

### Bước 1: Sử dụng công thức phân tích
Ta có công thức \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \). Đặt \( a = \sin^2 \alpha \) và \( b = \cos^2 \alpha \):
\[
\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha).
\]
Biết rằng \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), ta có:
\[
\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = \sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha.
\]
Mà \( \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \).

### Bước 2: Thay vào biểu thức
Thay vào \( B \):
\[
B = (1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) + 3\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha.
\]
Biểu thức này có thể được viết lại thành:
\[
B = 1 - 2\sin^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha.
\]

### Bước 3: Tính toán và rút gọn thêm
Kết hợp các hạng tử lại:
\[
B = 1 + \sin^2 \alpha - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha.
\]
Từ đó, ta có được dạng rút gọn cuối cùng.

### Kết luận
Biểu thức \( B \) đã được rút gọn thành:
\[
B = 1 + \sin^2 \alpha - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha.
\]
Xuất hiện nhiều nhất là hàm lượng giác, nếu cần, có thể thay thế các hàm theo các biến khác hoặc biến thiên trị của \( \alpha \).