Để tìm tập các giá trị \( m \) sao cho \( A \cap B \) là một đoạn có độ dài bằng 2, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Xác định tập \( A \) và tập \( B \)**:
- Tập \( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid -3 \leq x \leq 3 \} \) có thể viết thành đoạn \( A = [-3, 3] \).
- Tập \( B = [m, m + 2] \).

2. **Xác định giao của hai đoạn**:
- Giao của hai đoạn \( A \cap B \) sẽ là đoạn \( [\max(-3, m), \min(3, m + 2)] \).

3. **Bổ sung điều kiện về độ dài**:
- Để độ dài của đoạn \( A \cap B \) bằng 2, ta cần thỏa mãn điều kiện:
\[
\min(3, m + 2) - \max(-3, m) = 2
\]

4. **Xem xét các trường hợp của \( m \)**:
- **Trường hợp 1**: \( m \geq -3 \)
- Khi đó \( \max(-3, m) = m \).
- Để có đoạn giao là 2, ta có:
\[ \min(3, m + 2) - m = 2 \]
=> \( m + 2 \leq 3 \) => \( m \leq 1 \).
- Đoạn giao cụ thể là \( [m, m + 2] \), còn:
\[
m + 2 - m = 2 \quad \text{(luôn đúng, nếu mà } m \leq 1 \text{)}
\]
Vậy \( m \) có thể là trong \( [-3, 1] \).

- **Trường hợp 2**: \( m < -3 \)
- Khi đó \( \max(-3, m) = -3 \).
- Ta có:
\[
\min(3, m + 2) + 3 = 2 \implies m + 2 + 3 = 2 \implies m = -1 \quad \text{(không thoả mãn )}
\]

5. **Kết luận**:
- Từ điều kiện đã phân tích, tổng hợp lại các giá trị của \( m \) cho hai trường hợp tồn tại độ dài bằng 2 là \( [-3, 1] \).
- Chọn đáp án đúng, sau khi kiểm tra với các giá trị, ta thấy tập các giá trị \( m \) là:
- Đáp án \( A: (-\infty, -3] \cup [-3, 1] \cup [1, + \infty) \).

Tập các giá trị thỏa mãn sẽ là \( \{1, 5\} \).