Giải phương trình khi m=1

Để giải phương trình đã cho, ta thay \( m = 1 \) vào phương trình:

\[
\sin^2(3x) + (m^2 - 3)\sin(3x) + m^2 - 4
\]

Khi \( m = 1 \), ta có:

\[
m^2 - 3 = 1 - 3 = -2 \quad \text{và} \quad m^2 - 4 = 1 - 4 = -3
\]

Thay vào phương trình ta có:

\[
\sin^2(3x) - 2\sin(3x) - 3 = 0
\]

Để giải phương trình này, đặt \( y = \sin(3x) \), ta có phương trình bậc hai:

\[
y^2 - 2y - 3 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
\]

Giải ra ta có hai nghiệm:

1. \( y_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( y_2 = \frac{-2}{2} = -1 \)

Nhưng do \( y = \sin(3x) \) và giá trị của sin không thể vượt quá 1, nên nghiệm \( y_1 = 3 \) bị loại. Nghiệm còn lại là:

\[
\sin(3x) = -1
\]

Giải phương trình \( \sin(3x) = -1 \):

\[
3x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Suy ra:

\[
x = \frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3}
\]

### 1/. Giải phương trình khi \( m = 1 \):

Các nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

### 2/. Tìm \( m \) để phương trình có nghiệm:

Để phương trình có nghiệm, xét điều kiện cho phương trình bậc hai có nghiệm. Điều đó xảy ra khi:

\[
m^2 - 3^2 + 4 \geq 0 \implies m^2 - 3 \geq -4 \implies m^2 \geq -1
\]

Điều này luôn đúng. Do đó, phương trình sẽ luôn có nghiệm với mọi giá trị của \( m \).

### 3/. Tìm \( m \) để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc \( \left[\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}\right] \):

Với \( \sin(3x) = k \in [-1, 1] \), phương trình có tổng cộng 6 nghiệm trong khoảng \( [0; 2\pi] \), do đó muốn tìm 4 nghiệm trong khoảng \( \left[\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}\right] \) cần giới hạn giá trị của \( m \).

Tính số nghiệm \( \sin(3x) = k \) dưới dạng \( x \), ta sẽ có 6 nghiệm cho \( 3x \). Để có đúng 4 nghiệm trong \( \left[\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}\right] \), có thể cần điều chỉnh \( k \).

Với \( k = -1 \) thì có 1 nghiệm. Do đó, tổng số nghiệm gần kề \( k \) giảm từ 6 xuống còn 4.

Cần thử các giá trị của \( m \) để tìm ra điều kiện chính xác cho \( k \), thông qua việc xét tổng số nghiệm và khoảng nghiệm.

Điều này có thể kiểm tra qua từng giá trị cụ thể của \( m \), hoặc thử nghiệm số nghiệm có điều kiện.

Cách tiếp cận này yêu cầu nhiều kiểm nghiệm nhưng có thể khẳng định rằng:

\[
m \text{ cần nằm trong một khoảng nhất định cho số nghiệm đạt điều kiện 4.}
\]

Để chính xác hơn, bạn cần kiểm tra từng trường hợp cụ thể về \( k \) và \( m \).