Để phân tích đa thức \( x^5 + x - 1 \) dưới dạng tích của hai thừa số, chúng ta có thể thử tìm nghiệm bằng cách sử dụng định lý nghiệm bậc bốn (Nghiệm của đa thức bậc 5).

Đầu tiên, ta có thể thử tìm nghiệm bằng cách thử các giá trị nguyên.

1. Thử nghiệm giá trị \( x = 1 \):
\[
f(1) = 1^5 + 1 - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

2. Thử nghiệm giá trị \( x = 0 \):
\[
f(0) = 0^5 + 0 - 1 = -1 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

3. Thử nghiệm giá trị \( x = -1 \):
\[
f(-1) = (-1)^5 + (-1) - 1 = -1 - 1 - 1 = -3 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

4. Thử nghiệm giá trị \( x = 0.5 \):
\[
f(0.5) = (0.5)^5 + 0.5 - 1 = \frac{1}{32} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{32} + \frac{16}{32} - \frac{32}{32} = \frac{17}{32} - \frac{32}{32} = \frac{-15}{32} \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Sau khi thử nghiệm các giá trị như trên, ta có thể dùng phương pháp Viète hoặc thuật toán phân tích Newton-Raphson để tìm các nghiệm gần đúng.

Giả sử ta có được một nghiệm \( r \), thì ta có thể sử dụng phép chia đa thức để chia \( x^5 + x - 1 \) cho \( (x - r) \) để tìm bậc thấp hơn.

Giả định rằng một nghiệm thực của \( x^5 + x - 1 \) là \( r \approx 0.68 \). Ta có thể tìm được nhân tử không còn nữa bằng cách chia đa thức.

Tuy nhiên, nếu không thành công tìm nghiệm thực bằng cách thử nghiệm, chúng ta có thể xác định thêm rằng việc phân tích một đa thức bậc 5 thường cần tới các kỹ thuật nâng cao hơn như máy tính hoặc phần mềm chuyên dụng để xác định nghiệm chính xác hơn trong trường hợp này.

Phân tích tổng quát hơn, ta có thể thấy rằng:
\[
x^5 + x - 1 = (x - r)(Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E)
\]
và việc tìm ra các hệ số \( A, B, C, D, E \) có thể đòi hỏi thêm nhiều bước tính toán.

Nếu không thể tìm được nghiệm một cách trực tiếp thông qua thử nghiệm, ta khuyên bạn nên sử dụng phần mềm như SageMath, Mathematica, hoặc MATLAB để xác định nghiệm chính xác và giải bài toán này.