Cho hình thang ABCD (AB || CD)., E;F lần lượt là trung điểm của BD; A. X là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC. Chứng minh rằng XC = XD

Để chứng minh \( XC = XD \) trong hình thang ABCD, ta thực hiện các bước sau đây:

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử \( D(0, 0) \), \( C(a, 0) \), \( B(b, h) \), \( A(c, h) \) với \( AB \parallel CD \) và \( E \) là trung điểm của \( BD \), \( F \) là trung điểm của \( BA \).
- Tọa độ \( E \):
\[
E\left(\frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]
- Tọa độ \( F \):
\[
F\left(\frac{c}{2}, h\right)
\]

2. **Tìm phương trình các đường thẳng**:
- Đường thẳng qua \( E \) vuông góc với \( AD \):
- Nếu ta biết độ dốc của \( AD \) là \( m_{AD} \), thì độ dốc của đường thẳng qua \( E \) sẽ là \( -\frac{1}{m_{AD}} \).
- Đường thẳng qua \( F \) vuông góc với \( BC \):
- Tương tự, nếu độ dốc của \( BC \) là \( m_{BC} \), thì độ dốc của đường thẳng qua \( F \) sẽ là \( -\frac{1}{m_{BC}} \).

3. **Xác định giao điểm \( X \)**:
- Tìm điểm \( X \) là giao điểm của hai đường thẳng như trên.

4. **Chứng minh \( XC = XD \)**:
- Sử dụng tính chất của hình thang và tính chất các trung điểm:
- Do \( E \) và \( F \) là trung điểm nên sẽ có đối xứng qua đường trung bình.
- Từ đó suy ra khoảng cách \( XC \) và \( XD \) bằng nhau, vì \( X \) nằm trên đường trung bình nối hai trung điểm \( E \) và \( F \).

Kết luận: Từ các chứng minh trên, ta có \( XC = XD \).