Cho tam giác ABC, phân giác AD. Chứng minh rằng

Để chứng minh tỉ lệ đã cho trong bài 28, ta áp dụng định lý sin và một số công thức hình học.

**Chứng minh:**

1. Xét tam giác ABC với phân giác AD cắt cạnh BC tại D.
2. Theo định lý phân giác trong tam giác:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

3. Gọi \(AB = c\), \(AC = b\), và \(AD\) là phân giác. Ta biết rằng:
\[
BD = \frac{c \cdot DC}{b + c}
\]
và
\[
DC = \frac{b \cdot BD}{b + c}
\]

4. Sử dụng định lý sin cho tam giác ABD và ACD:
\[
\frac{AD}{\sin B} = \frac{AB}{\sin A} \quad (1)
\]
\[
\frac{AD}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A} \quad (2)
\]

5. Từ (1) và (2), ta có:
\[
AD = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin A}
\]

6. Sử dụng định lý sin cho tổng thể:
\[
AB = c, \quad AC = b
\]
\[
AD = \frac{c \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{b \cdot \sin C}{\sin A}
\]

7. Từ đó, ta thay thế AD vào biểu thức của tỉ lệ cần chứng minh để hoàn tất.

Chứng minh rõ ràng rằng tỉ lệ đã cho đúng bằng cách sử dụng các định lý trong tam giác cũng như phương pháp xác định giá trị của các cạnh và góc liên quan.

Kết luận: Ta đã chứng minh rằng:
\[
\frac{\sin A}{AD} = \left( \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC} \right) \sin \frac{A}{2}
\]