Để thu gọn biểu thức \( (2x + 1)^2 + (2x + 1) + 1 \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Thực hiện khai triển hằng đẳng thức
Thực hiện khai triển \( (2x + 1)^2 \):

\[
(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1
\]

### Bước 2: Thay thế vào biểu thức
Thay kết quả khai triển vào biểu thức ban đầu:

\[
(2x + 1)^2 + (2x + 1) + 1 = (4x^2 + 4x + 1) + (2x + 1) + 1
\]

### Bước 3: Cộng các hạng tử lại
Tiến hành cộng các hạng tử lại với nhau:

\[
= 4x^2 + 4x + 1 + 2x + 1 + 1
\]

### Bước 4: Gộp các hạng tử tương đồng
Gộp các hạng tử tương đồng:

\[
= 4x^2 + (4x + 2x) + (1 + 1 + 1) = 4x^2 + 6x + 3
\]

### Kết quả
Vậy biểu thức đơn giản hóa của \( (2x + 1)^2 + (2x + 1) + 1 \) là:

\[
\boxed{4x^2 + 6x + 3}
\]