Để giải hệ phương trình và tìm điều kiện của \( m \), ta thực hiện từng phần một.

### a) Giải hệ phương trình khi \( m = 2 \):

Khi \( m = 2 \), hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
2x + y = 1 \\
x + 2y = 2
\end{cases}
\]

Giải hệ này, ta có thể biến đổi phương trình đầu tiên:

1. Từ phương trình thứ nhất: \( y = 1 - 2x \).
2. Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:

\[
x + 2(1 - 2x) = 2
\]

Giải phương trình này:

\[
x + 2 - 4x = 2 \implies -3x + 2 = 2 \implies -3x = 0 \implies x = 0.
\]

Thay \( x = 0 \) vào phương trình (1):

\[
2(0) + y = 1 \implies y = 1.
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (0, 1) \).

### b) Tìm \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, vô nghiệm và vô số nghiệm:

Hệ phương trình sẽ có nghiệm duy nhất khi định thức của ma trận hệ số khác 0. Đặt hệ phương trình vào dạng ma trận:

\[
\begin{bmatrix}
m & 1 \\
1 & m
\end{bmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
D = m \cdot m - 1 \cdot 1 = m^2 - 1.
\]

- **Có nghiệm duy nhất:** \( D \neq 0 \) hay \( m^2 - 1 \neq 0 \) (hay \( m \neq 1 \) và \( m \neq -1 \)).
- **Vô nghiệm:** \( D = 0 \) và hệ phương trình vô nghiệm (các phương trình mâu thuẫn) xảy ra khi \( m = 1 \) hoặc \( m = -1 \) và hệ này không đồng nhất (có thể kiểm tra bằng cách thế vào và xem phương trình dẫn đến điều mâu thuẫn).
- **Vô số nghiệm:** Xảy ra khi \( D = 0 \) và các phương trình trùng nhau. Điều này xảy ra khi \( m = 1 \) ở dạng đồng nhất.

### c) Tìm \( m \) để hệ phương trình có nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn \( x - y = 1 \):

Thay \( y = x - 1 \) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
mx + (x - 1) = 1 \\
x + m(x - 1) = 2
\end{cases}
\]

1. Từ phương trình đầu tiên:

\[
mx + x - 1 = 1 \implies (m + 1)x = 2 \implies x = \frac{2}{m+1}.
\]

2. Thay \( x \) vào phương trình thứ hai:

\[
\frac{2}{m+1} + m\left(\frac{2}{m+1} - 1\right) = 2.
\]

Thu gọn:

\[
\frac{2}{m+1} + \frac{2m - m(m+1)}{m+1} = 2.
\]

Cuối cùng, giải phương trình trên để tìm \( m \).

Hy vọng giúp bạn hiểu và giải bài tập này! Nếu cần thêm chi tiết hoặc giải thích cụ thể hơn ở phần nào, hãy cho mình biết!