Để thực hiệni phép tính này, chúngta sẽgiảitích từng phần và áp dụng quy tắc đổidấu.

Bài toáanyêu cầu phépchia:
\[
\frac{4x + 6y}{x - 1} : \frac{4x^2 + 12xy + 9y^2}{1 - x^3}
\]

Đầu tiên, ta cần nhớ quy tắc đổi dấu:
\[
\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}
\]

Vậy,
\[
\frac{4x + 6y}{x - 1} : \frac{4x^2 + 12xy + 9y^2}{1 - x^3} = \frac{4x + 6y}{x - 1} \cdot \frac{1 - x^3}{4x^2 + 12xy + 9y^2}
\]

Tiếp theo, ta sẽ phân tích các biểu thức để rút gọn cho dễ dàng.

1. Phân tích \(4x^2 + 12xy + 9y^2\) thành \( (2x + 3y)^2 \):
\[
4x^2 + 12xy + 9y^2 = (2x + 3y)^2
\]

2. Phân tích \(1 - x^3\) như sau:
\[
1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)
\]

Vậy,
\[
\frac{4x + 6y}{x - 1} \cdot \frac{1 - x^3}{4x^2 + 12xy + 9y^2} = \frac{4x + 6y}{x - 1} \cdot \frac{(1 - x)(1 + x + x^2)}{(2x + 3y)^2}
\]

Chúng ta có thể nhận thấy rằng \(1 - x = -(x - 1)\), vì vậy biểu thức trên trở thành:
\[
\frac{4x + 6y}{x - 1} \cdot \frac{-(x - 1)(1 + x + x^2)}{(2x + 3y)^2}
\]

Ở đây, \(x-1\) sẽ bị triệt tiêu, do đó ta có:
\[
= \frac{4x + 6y}{x - 1} \cdot \frac{-(x - 1)(1 + x + x^2)}{(2x + 3y)^2} = \frac{4x + 6y}{(2x + 3y)^2} \cdot -(1 + x + x^2)
\]

Chuyển dạng để nhìn rõ hơn:
\[
= \left(4x + 6y) \cdot -(1 + x + x^2) \right) / (2x + 3y)^2
\]

Đây là kết quả đã được đơn giản hóa của phép tính đã cho.