Để giải bài toán này, trước hết ta cần xét biểu thức của \( A \):

\[ A = \frac{x + 1}{x - 2} \]

Ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( A \) là một số nguyên. Ta gọi \( A \) là \( k \), trong đó \( k \) là một số nguyên. Khi đó:

\[ \frac{x + 1}{x - 2} = k \]

Nhân cả hai vế với \( x - 2 \):

\[ x + 1 = k(x - 2) \]

Giải phương trình này để tìm \( x \):

\[ x + 1 = kx - 2k \]

Đưa \( x \) và các hằng số về cùng một phía của phương trình:

\[ x - kx = -2k - 1 \]

\[ x(1 - k) = -2k - 1 \]

\[ x = \frac{-2k - 1}{1 - k} \]

Ta cần \( x \) là một số nguyên, vậy phân số \(\frac{-2k - 1}{1 - k}\) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa rằng \( 1 - k \) phải là ước của \(-2k - 1\). Dễ thấy rằng \( k \) là một số nguyên có thể chia cho \( 1 - k \).

### Xét các giá trị của \( k \) để tìm \( x \):

1. **\( k = 1 \):**
\[ x = \frac{-2 \cdot 1 - 1}{1 - 1} \]
Đây là một phép chia cho 0, do đó, \( k = 1 \) không hợp lệ.

2. **\( k = 0 \):**
\[ x = \frac{-2 \cdot 0 - 1}{1 - 0} = -1 \]
Khi đó, \( x = -1 \).

3. **\( k = -1 \):**
\[ x = \frac{-2 \cdot -1 - 1}{1 - (-1)} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2} \]
Đây không phải số nguyên, do đó, \( k = -1 \) không hợp lệ.

4. **\( k = 2 \):**
\[ x = \frac{-2 \cdot 2 - 1}{1 - 2} = \frac{-4 - 1}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5 \]
Khi đó, \( x = 5 \).

5. **\( k = 3 \):**
\[ x = \frac{-2 \cdot 3 - 1}{1 - 3} = \frac{-6 - 1}{-2} = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} \]
Đây không phải số nguyên, do đó, \( k = 3 \) không hợp lệ.

6. **Tương tự cho các giá trị \( k \) khác**:

Bằng cách kiểm tra tương tự cho các giá trị \( k \) khác, ta thấy rằng \( \frac{-2k - 1}{1 - k} \) chỉ nguyên khi phần mẫu chia hết toàn bộ tử số, và giá trị đầu tiên tìm được là \( k = 0 \) với \( x = -1 \) và \( k = 2 \) với \( x = 5 \).

### Kết luận:

Các giá trị \( x \) nguyên thỏa mãn điều kiện sao cho \( A = \frac{x + 1}{x - 2} \) là số nguyên bao gồm:

\[ x = -1 \text{ hoặc } x = 5 \]