Để chứng minh đẳng thức \(\frac{\sin A}{AD} = \left(\frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}\right)\sin \frac{A}{2}\) cho tam giác \(ABC\) có phân giác \(AD\), ta làm như sau:

Gọi \(\angle BAC = A\), \(\angle ABC = B\), \(\angle ACB = C\), \(AB = c\), \(BC = a\) và \(CA = b\).

1. **Áp dụng định lý phân giác trong tam giác:**
Trong tam giác \(ABC\) với phân giác trong \(AD\), ta có
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}
\]
và
\[
AD = \frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}
\]

2. **Xét tam giác \(ADB\) và \(ADC\):**
Ta áp dụng định lý cosin cho cả hai tam giác con:

Đối với tam giác \(ADB\):
\[
BD = \frac{bc}{b+c}
\]

Đối với tam giác \(ADC\):
\[
DC = \frac{bc}{b+c}
\]

3. **Xét tam giác \(ADC\):**
Áp dụng định lý sin:
\[
\frac{AD}{\sin\frac{A}{2}} = \frac{AC}{\sin\left(90^\circ - \frac{B}{2}\right)} = \frac{c}{\cos\frac{B}{2}}
\]
Tương tự đối với tam giác \(ADB\):
\[
\frac{AD}{\sin\frac{A}{2}} = \frac{AB}{\sin\left(90^\circ - \frac{C}{2}\right)} = \frac{b}{\cos\frac{C}{2}}
\]

Cuối cùng, tổng hợp các kết quả:
\[
AD = \frac{2bc \cos\frac{A}{2}}{b+c}
\]

4. **Để chứng minh công thức đã cho:**
\[
\frac{\sin A}{AD} = \left( \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC} \right) \sin \frac{A}{2}
\]

Cụ thể:
\[
\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}
\]
Vậy
\[
AD = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b+c}
\]

Thay vào ta được:
\[
\frac{\sin A}{AD} = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b+c}} = \frac{\sin \frac{A}{2}(b+c)}{bc}
\]

Mặt khác:
\[
\left(\frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}\right)\sin \frac{A}{2} = \left(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \sin \frac{A}{2} = \left(\frac{b+c}{bc}\right) \sin \frac{A}{2}
\]

Do đó:
\[
\frac{\sin A}{AD} = \left(\frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}\right)\sin \frac{A}{2}
\]

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.