Giải các phương trình phân thức sau:

1) \(\frac{x-1}{x} + \frac{1-2x}{x(x+1)} = \frac{1}{x+1}\)

Ta sẽ quy đồng mẫu số chung cho hai phân thức bên trái của phương trình.

Mẫu số chung là \(x(x+1)\):

\[
\frac{x-1}{x} + \frac{1-2x}{x(x+1)} = \frac{(x-1)(x+1) + 1-2x}{x(x+1)}
\]

Rút gọn tử số:

\[
(x-1)(x+1) + 1-2x = x^2 - 1 + 1 - 2x = x^2 - 2x
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\frac{x^2 - 2x}{x(x+1)} = \frac{1}{x+1}
\]

Bỏ mẫu số giống nhau:

\[
x^2 - 2x = 1
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 2x - 1 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với:

\[
a = 1, b = -2, c = -1
\]

Ta có:

\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}
\]

Kết quả là \(x = 1 + \sqrt{2}\) hoặc \(x = 1 - \sqrt{2}\).

2) \(\frac{5}{x} + \frac{x-3}{x-4} = \frac{x^2 - 10}{x(x-4)}\)

Quy đồng mẫu số chung cho hai phân thức bên trái của phương trình.

Mẫu số chung là \(x(x-4)\):

\[
\frac{5}{x} = \frac{5(x-4)}{x(x-4)} = \frac{5x - 20}{x(x-4)}
\]

\[
\frac{x-3}{x-4} = \frac{x-3}{x-4}
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\frac{5x - 20 + x - 3}{x(x-4)} = \frac{x^2 - 10}{x(x-4)}
\]

Giải phương trình:

\[
5x - 20 + x - 3 = x^2 - 10
\]

Rút gọn:

\[
6x - 23 = x^2 - 10
\]

Chuyển các hạng tử về cùng một vế:

\[
x^2 - 6x + 13 = 0
\]

Phương trình này không có nghiệm thực vì biệt số delta (\(\Delta = b^2 - 4ac = 36 - 52 = -16\)) là số âm.

Vậy không có nghiệm thực cho phương trình này.

3) \(\frac{x+3}{x-3} = \frac{3}{x^2 - 3x} + \frac{1}{x}\)

Quy đồng mẫu số các phân thức bên phải của phương trình.

Viết lại phân thức:

\[
\frac{x+3}{x-3} = \frac{3}{x(x-3)} + \frac{1}{x}
\]

Mẫu số chung là \(x(x-3)\):

\[
\frac{3}{x(x-3)} = \frac{3}{x(x-3)}
\]

\[
\frac{1}{x} = \frac{x-3}{x(x-3)}
\]

Cộng các phân thức:

\[
\frac{3 + (x - 3)}{x(x-3)} = \frac{x}{x(x-3)} = \frac{1}{x-3}
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\frac{x+3}{x-3} = \frac{1}{x-3}
\]

Nhân chéo:

\[
(x+3) = 1
\]

Giải phương trình:

\[
x + 3 = 1
\]

Chuyển hạng tử:

\[
x = -2
\]

4) \(\frac{3}{x^2 - 3x} + \frac{1}{x} = \frac{x+4}{x-3}\)

Quy đồng mẫu số cho hai phân thức bên trái của phương trình.

Mẫu số chung là \(x(x-3)\):

\[
\frac{3}{x^2 - 3x} = \frac{3}{x(x-3)}
\]

\[
\frac{1}{x} = \frac{x-3}{x(x-3)}
\]

Cộng các phân thức:

\[
\frac{3 + (x - 3)}{x(x-3)} = \frac{x}{x(x-3)} = \frac{1}{x-3}
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\frac{1}{x-3} = \frac{x+4}{x-3}
\]

Nhân chéo:

\[
1 = x + 4
\]

Giải phương trình:

\[
1 = x + 4
\]

Chuyển hạng tử:

\[
x = -3
\]

Tóm lại, các nghiệm của các phương trình phân thức là:
1) \(x = 1 + \sqrt{2}\) hoặc \(x = 1 - \sqrt{2}\)
2) Không có nghiệm thực
3) \(x = -2\)
4) \(x = -3\)