Để phân tích biểu thức \( x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \) thành nhân tử, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về đa thức và hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ta có thể nhận thấy rằng \(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\) là vi phân của \(x^6 - 1\) khi không có hạn tử bậc không.

Nhớ rằng:

\[ x^6 - 1 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1). \]

Chúng ta sẽ phân tích như sau:

\[ x^6 - 1 = (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1). \]

Vậy \( x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \) có thể được viết lại thành:

\[ x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = \frac{x^6 - 1}{x - 1}. \]

Điều này cũng có thể phân tích thành:

\[ x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1). \]

Như vậy, biểu thức ban đầu được phân tích thành nhân tử là:

\[ x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x - \omega)(x - \omega^2)(x - \omega^3)(x - \omega^4)(x - \omega^5), \]

với \(\omega\) là căn bậc sáu của đơn vị, không phải bằng 1, và được biểu diễn dưới dạng các tổ hợp khác nhau.

Tuy nhiên, biểu diễn bằng các nhân tử thường gặp nhất là qua nhân tử đa thức cấp nhỏ hơn:

\[ x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1). \]