Để tìm giá trị của
m sao cho nghiệm lớn nhất của phương trình
2x2−2mx+m2−2=0 đạt giá trị lớn nhất, trước hết ta gọi hai nghiệm của phương trình là
x1 và
x2. Vì phương trình có các nghiệm không âm và
0≤x1≤x2, chúng ta sẽ sử dụng điều kiện này để tìm m.
Theo định lý Viète, với phương trình bậc hai
ax2+bx+c=0:
- Tổng các nghiệm:
x1+x2=−ba- Tích các nghiệm:
x1x2=caÁp dụng điều này vào phương trình
2x2−2mx+m2−2=0:
- Tổng các nghiệm:
x1+x2=2m2=m- Tích các nghiệm:
x1x2=m2−22Để phương trình có hai nghiệm không âm:
1. Δ phải không âm:
Δ=b2−4ac=(−2m)2−4⋅2⋅(m2−2)≥0
Δ=4m2−8(m2−2)≥0
4m2−8m2+16≥0
−4m2+16≥0
4m2≤16
m2≤4
−2≤m≤2
2. Điều kiện tích các nghiệm không âm:
x1x2=m2−22≥0
m2−2≥0
m2≥2
|m|≥√2
m≤−√2hoặcm≥√2
Kết hợp hai điều kiện:
√2≤m≤2hoặc−2≤m≤−√2
Tiếp theo, chúng ta phân tích nghiệm lớn nhất của phương trình theo
m. Để tìm nghiệm lớn nhất
x2:
- Tổng hai nghiệm không đổi là
x1+x2=m- Đặt
x2≥x1Do
x1≤x2:
x2 đạt giá trị lớn nhất khi x1 nhỏ nhất
Khi đó
x1=0 và
x2=m.
Nhưng để giá trị thực tế
x1=0 thỏa mãn:
m2−2=0
m=±√2
Vì
x2=m≥√2 và
x2=m≤−√2:
- Với
m≥√2: nghiệm
x2 không âm và đạt giá trị lớn
- Với
m=√2: nghiệm đạt giá trị tối đa và
m2−2=0;
x2=√2Từ các điều kiện trên, giá trị
m để nghiệm lớn nhất của phương trình đạt giá trị lớn nhất là:
m=2
or
m=−2Nhưng giá trị dương dễ hiểu và hài hòa với điều kiện không âm, nên:
m=2