Cho phương trình 2x^2 - 2mx + m^2 - 2 = 0 (1) (m là tham số)

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho nghiệm lớn nhất của phương trình \( 2x^2 - 2mx + m^2 - 2 = 0 \) đạt giá trị lớn nhất, trước hết ta gọi hai nghiệm của phương trình là \( x_1 \) và \( x_2 \). Vì phương trình có các nghiệm không âm và \( 0 \leq x_1 \leq x_2 \), chúng ta sẽ sử dụng điều kiện này để tìm m.

Theo định lý Viète, với phương trình bậc hai \( a x^2 + b x + c = 0 \):
- Tổng các nghiệm: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
- Tích các nghiệm: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)

Áp dụng điều này vào phương trình \( 2x^2 - 2mx + m^2 - 2 = 0 \):
- Tổng các nghiệm: \( x_1 + x_2 = \frac{2m}{2} = m \)
- Tích các nghiệm: \( x_1 x_2 = \frac{m^2 - 2}{2} \)

Để phương trình có hai nghiệm không âm:
1. Δ phải không âm:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m^2 - 2) \geq 0 \]
\[ \Delta = 4m^2 - 8(m^2 - 2) \geq 0 \]
\[ 4m^2 - 8m^2 + 16 \geq 0 \]
\[ -4m^2 + 16 \geq 0 \]
\[ 4m^2 \leq 16 \]
\[ m^2 \leq 4 \]
\[ -2 \leq m \leq 2 \]

2. Điều kiện tích các nghiệm không âm:
\[ x_1 x_2 = \frac{m^2 - 2}{2} \geq 0 \]
\[ m^2 - 2 \geq 0 \]
\[ m^2 \geq 2 \]
\[ |m| \geq \sqrt{2} \]
\[ m \leq -\sqrt{2} \; \text{hoặc} \; m \geq \sqrt{2} \]

Kết hợp hai điều kiện:
\[ \sqrt{2} \leq m \leq 2 \; \text{hoặc} \; -2 \leq m \leq -\sqrt{2} \]

Tiếp theo, chúng ta phân tích nghiệm lớn nhất của phương trình theo \( m \). Để tìm nghiệm lớn nhất \( x_2 \):
- Tổng hai nghiệm không đổi là \( x_1 + x_2 = m \)
- Đặt \( x_2 \geq x_1 \)

Do \( x_1 \leq x_2 \):
\[ x_2 \text{ đạt giá trị lớn nhất khi } x_1 \text{ nhỏ nhất} \]
Khi đó \( x_1 = 0 \) và \( x_2 = m \).

Nhưng để giá trị thực tế \( x_1 = 0 \) thỏa mãn:
\[ m^2 - 2 = 0 \]
\[ m = \pm \sqrt{2} \]

Vì \( x_2 = m \geq \sqrt{2} \) và \( x_2 = m \leq -\sqrt{2} \):
- Với \( m \geq \sqrt{2} \): nghiệm \( x_2 \) không âm và đạt giá trị lớn
- Với \( m = \sqrt{2} \): nghiệm đạt giá trị tối đa và \( m^2 - 2 = 0 \); \( x_2 = \sqrt{2} \)

Từ các điều kiện trên, giá trị \( m \) để nghiệm lớn nhất của phương trình đạt giá trị lớn nhất là:
\[ m = 2 \] or \( m = -2 \)

Nhưng giá trị dương dễ hiểu và hài hòa với điều kiện không âm, nên:
\[ m = 2 \]