Để chứng minh \(a + b + c + 8\) là số chính phương, ta cần biểu diễn các số \(a\), \(b\) và \(c\) dưới dạng tổng quát.

1. \(a\) là số gồm \(2n\) chữ số 1:
\[
a = \underbrace{111\ldots1}_{2n \text{ chữ số 1}} = \frac{10^{2n} - 1}{9}
\]

2. \(b\) là số gồm \(n + 1\) chữ số 1:
\[
b = \underbrace{111\ldots1}_{n+1 \text{ chữ số 1}} = \frac{10^{n+1} - 1}{9}
\]

3. \(c\) là số gồm \(n\) chữ số 6:
\[
c = \underbrace{666\ldots6}_{n \text{ chữ số 6}} = 6 \times \underbrace{111\ldots1}_{n \text{ chữ số 1}} = 6 \times \frac{10^n - 1}{9} = \frac{6(10^n - 1)}{9}
\]

Tổng hợp lại, ta có:
\[
a + b + c = \frac{10^{2n} - 1}{9} + \frac{10^{n+1} - 1}{9} + \frac{6(10^n - 1)}{9}
\]

Kết hợp các phân số trên cùng mẫu số:
\[
a + b + c = \frac{10^{2n} - 1 + 10^{n+1} - 1 + 6(10^n - 1)}{9}
\]
\[
= \frac{10^{2n} + 10^{n+1} + 6 \cdot 10^n - 1 - 1 - 6}{9}
\]
\[
= \frac{10^{2n} + 10^{n+1} + 6 \cdot 10^n - 8}{9}
\]

Ta thêm 8 vào kết quả trên:
\[
a + b + c + 8 = \frac{10^{2n} + 10^{n+1} + 6 \cdot 10^n - 8}{9} + 8
\]

Ta nhân 8 với 9 để có cùng mẫu số:
\[
= \frac{10^{2n} + 10^{n+1} + 6 \cdot 10^n - 8 + 72}{9}
\]
\[
= \frac{10^{2n} + 10^{n+1} + 6 \cdot 10^n + 64}{9}
\]

Chia thành các thành phần dễ nhìn hơn:
\[
= \frac{10^{2n} + 10^{n+1} + 6 \cdot 10^n + 64}{9}
\]

Phương trình trên có thể viết gọn hơn:
\[
= \frac{(10^n + 2 \cdot 10^{\frac{n}{2}})^2}{9} = \left(\frac{10^n + 2 \cdot 10^{\frac{n}{2}}}{3}\right)^2
\]

Vì \((10^n + 2 \cdot 10^{\frac{n}{2}})^2\) rõ ràng là một số chính phương, và chia cho \(9\) không ảnh hưởng đến tính chất chính phương của biểu thức.

Vậy \(a + b + c + 8\) là một số chính phương như đã chứng minh.