Để giải bài toán trên, ta sẽ làm lần lượt các phần a), b), và c).

a) Chứng minh tam giác AMB = tam giác AMC:

Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC. Đồng thời, AB = AC do tam giác ABC cân tại A.

Xét hai tam giác AMB và AMC, ta có:
- AM chung
- BM = MC (do M là trung điểm của BC)
- AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)

Vì vậy, tam giác AMB = tam giác AMC (theo cạnh - góc - cạnh).

b) Chứng minh AM ⊥ BC:

Trong tam giác cân ABC, đường trung trực của đáy BC chính là đường phân giác, đường trung tuyến và cũng là đường cao. M là trung điểm của BC nên AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.

Vậy AM ⊥ BC.

c) Kẻ BE ⊥ AC (E thuộc AC). Trên tia đối của tia EB lấy điểm K sao cho EB = EK. Tìm điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác BCK:

Gọi O là điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác BCK.

Điểm cách đều 3 đỉnh của một tam giác chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCK.

Để xác định O, ta cần vẽ trung trực của ba cạnh tam giác BCK, giao điểm của chúng chính là O.

1. Trung trực của BC: Ta đã có điểm M là trung điểm của BC, vậy đường trung trực của BC sẽ đi qua M và vuông góc với BC.

2. Trung trực của CK: Kể từ điểm K đã biết trên tia đối của EB sao cho EB = EK, vậy trung trực của CK sẽ đi qua trung điểm của CK.

3. Trung trực của BK: Tương tự, trung trực của BK sẽ đi qua trung điểm của BK.

Giao điểm của ba đường trung trực này chính là điểm O.

O là điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác BCK.