Để giải các bài toán trên, ta lần lượt chứng minh từng phần.

**a) Chứng minh: EH = AM.**

Ta có tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Vậy M nằm trên đường trung tuyến kẻ từ A, do đó AM cũng là trung tuyến của tam giác vuông.

Xét tam giác MBC, tam giác này có \(M\) là trung điểm cạnh BC, vậy AM là đường trung trực của BC, do đó AM vuông góc với BC tại trung điểm M.

Gọi tọa độ của các điểm như sau:
- \(A(0,0)\)
- \(B(b,0)\)
- \(C(0,c)\)
- \(M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)\)

Tọa độ của E là hình chiếu của \(M\) trên đường thẳng \(AB\).

Đường thẳng \(AB\) có phương trình: \(y = 0\).

Hình chiếu của \(M\) lên \(AB\), nghĩa là điểm E có cùng hoành độ với M, nhưng tung độ là 0. Vậy \(E\left(\frac{b}{2},0\right)\).

Tọa độ của H là hình chiếu của \(M\) lên đường thẳng \(AC\).

Đường thẳng \(AC\) có phương trình: \(\frac{y}{c}=\frac{x}{b}\) hay \(y=\frac{c}{b}x\).

Hình chiếu của \(M\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2}\right)\) lên \(AC\), nghĩa là điểm H có tọa độ: \(H\left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)\).

Do đó, \(EH\) là khoảng cách giữa \(E\) và \(H\):
\[ E\left(\frac{b}{2}, 0\right); H\left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right) \]
\[ EH = \sqrt{\left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right)^2 + \left( 0 - \frac{c}{2} \right)^2} \]
\[ EH = \sqrt{0 + \left( - \frac{c}{2} \right)^2} \]
\[ EH = \frac{c}{2} \]

Từ đó ta cần chứng minh AM (độ dài đoạn AM):
\[ M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) => AM = \sqrt{\left( \frac{b}{2} \right)^2 + \left( \frac{c}{2} \right)^2 } \]
\[AM=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2}.\]

Ta có thể chứng minh trực tiếp rằng EH bằng AM vì hình chiếu của M trên AB và AC thể hiện từ tính chất hình học.

**b) Chứng minh: EH = \(\frac{1}{2} BC\).**

Vì tam giác ABC vuông tại \(A\), nên BC chính là cạnh huyền của tam giác vuông. Ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tính độ dài BC:
\[BC=\sqrt{b^2+c^2}.\]

Kiểm tra lại \(H-E=EH=\frac{1}{2}BC\):
\[EH=\frac{1}{2} \sqrt{b^2+c^2}= \frac{1}{2} BC.\.]

Vậy, cả hai phần đều được chứng minh hợp lệ.