Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có BC = 10 cm. Gọi D là trung điểm của BC, H là hình chiếu của D lên AB, và K là hình chiếu của D lên AC.

a) Tính độ dài AD:

Tam giác ABC vuông tại A nên:
BC = 10 cm là cạnh huyền, do đó tam giác ABC có thể áp dụng định lý Pythagoras để tính độ dài các cạnh còn lại AB và AC:
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]

Nếu biết thêm thông tin về AB và AC thì có thể xác định được các cạnh này. Tuy nhiên ở đây không có số liệu thêm, nên chúng ta dùng kiến thức về đường trung tuyến trong tam giác vuông.

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông tới cạnh huyền bằng một nửa chiều dài cạnh huyền:
\[ AD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \text{ cm} \]

b) Chứng minh tứ giác AHDK là hình bình hành:

- Gọi \( D \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BD = DC \) và đều bằng \(\frac{BC}{2} = 5 cm\).
- \( H \) là hình chiếu của \( D \) trên \( AB\), do đó \( DH \perp AB \).
- \( K \) là hình chiếu của \( D \) trên \( AC\), do đó \( DK \perp AC \).

Do đó, trong tam giác vuông \( \triangle ABC \):

1. \( AD = 5 cm \)
2. Các góc vuông tại \( D \) là \( H \) và \( K \):
- \( \angle DHA = 90^\circ \)
- \( \angle DKA = 90^\circ \)

Hình chiếu của một điểm lên hai cạnh của tam giác vuông từ trung điểm của cạnh huyền sẽ tạo ra các tam giác vuông cân tại các chân đường chiếu.

Xét các tam giác vuông cân \( \triangle AHD \) và \( \triangle AKD \):

- \( HD = DK \) vì cả 2 đều là hình chiếu vuông góc từ điểm trung tuyến của cạnh huyền tam giác vuông.
- \( AD = AD \) (chung cạnh).

Do có:
- Hai cặp cạnh không song song (do hình chiếu ngang nhau), và có 1 chung cạnh \( AD \),
- Hai đoạn \( HD \) và \( DK \) bằng nhau từ trung điểm.

Điều này chứng minh rằng tứ giác \( AHDK \) có hai cạnh đối song song và bằng nhau.

Do vậy:
\[ AHDK \text{ là hình bình hành.} \]

Kết luận: Tứ giác \( AHDK \) là hình bình hành.