Để giải bài toán này, ta cần phân tích và chứng minh các yêu cầu trong đề bài.

### a) Tứ giác ABPN là hình gì?
Tứ giác ABPN là hình chữ nhật.

**Giải thích:**
Vì đường thẳng d song song với NP, nên khi kẻ đường thẳng d cắt MN tại A và MP tại B, ta có hai cặp cạnh song song: AB // NP và AN // BP. Do đó, tứ giác ABPN có các cạnh đối song song với nhau, thỏa mãn định nghĩa của hình chữ nhật.

### b) Chứng minh AP = BN.
Để chứng minh AP = BN, ta dùng tính chất của các tam giác đồng dạng.

**Chứng minh:**
1. Xét tam giác MNP cân tại M, tức là MN = MP.
2. Vì d song song với NP, ta có ∠MAN = ∠NBP (cặp góc đồng vị).
3. Ta cũng có ∠MNA = ∠MBP (cặp góc đồng vị).
4. Do đó, tam giác AMN và tam giác BNP là hai tam giác đồng dạng (theo tiêu chí góc - góc).
5. Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có: \(\frac{AP}{BN} = \frac{AM}{MB}\).
6. Vì MN = MP, nên AM = MB (do tam giác cân).
7. Kết quả, ta có \(\frac{AP}{BN} = 1\), tức là AP = BN.

Vậy ta đã chứng minh được rằng AP = BN.