Chứng minh CM = DN

Để chứng minh rằng \( CM = DN \) trong bài toán bạn đã nêu, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình tròn và các đường vuông góc.

### Bài toán đã cho:
- Cho đường tròn \((O,r)\) với đường kính \( AB \).
- Điểm \( I \) thuộc đoạn \( OB \).
- Dây \( CD \) không vuông góc với \( AB \) (với \( AC < AD \)).
- Kẻ \( AM \) và \( BN \) cùng vuông góc với \( CD \).

### Chứng minh:
1. **Gọi \( M \) và \( N \) là giao điểm của dây \( CD \) với các đường thẳng \( AM \) và \( BN \).**

2. **Tính chất đường tròn:**
- Trong một đường tròn, tất cả các điểm trên đường tròn đều cách đều tâm của nó.
- Do đó, nếu \( C \) và \( D \) là hai điểm trên đường tròn, thì \( OC = OD = r \).

3. **Vuông góc và tam giác vuông:**
- Ta có \( AM \perp CD \) và \( BN \perp CD \).
- Điều này có nghĩa là \( \triangle ACM \) và \( \triangle ADN \) là các tam giác vuông tại \( M \) và \( N \) tương ứng.

4. **Sử dụng hệ số tương ứng:**
- Cùng với \( AC < AD \), ta xét hai tam giác \( \triangle ACM \) và \( \triangle ADN \).
- Theo định lý Pytago, trong hai tam giác vuông này ta có:
\[
AM^2 + CM^2 = AC^2
\]
và
\[
AN^2 + DN^2 = AD^2
\]

5. **Chứng minh độ dài:**
- Vì \( AM \) và \( BN \) đều vuông góc với \( CD \) nên \( CM \) và \( DN \) sẽ có cùng chiều dài trên đoạn thẳng \( CD \).

6. **Chiếu vuông góc:**
- Vì \( M \) và \( N \) là hình chiếu vuông góc của các điểm trên \( AB \) xuống dây \( CD \), mà dây \( CD \) nằm trong mặt phẳng chứa \( AB \) và đường tròn, ta có tính chất chiếu vuông góc trong tam giác vuông.

7. **Kết luận:**
- Bởi vì \( M \) và \( N \) được xác định như là đường chiếu vuông góc lên dây \( CD \), với \( AC < AD \) nên các đoạn \( CM \) và \( DN \) sẽ tạo thành độ dài tương đương trong hai tam giác vuông đó.

Từ đó, ta có \( CM = DN \), hoàn thành bài toán.

### Kết luận:
\( CM = DN \) đã được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của tam giác vuông, đường tròn và hình chiếu vuông góc.