Để chứng minh \( A < 1 \) và \( A > \frac{3}{7} \) với \( A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{20^2} \), ta làm như sau:

### a) Chứng minh \( A < 1 \)

Ta có thể ước lượng từng phần tử trong tổng của \( A \). Cụ thể, ta có:

\[
A = \sum_{n=2}^{20} \frac{1}{n^2}
\]

So với tổng vô hạn của chuỗi \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645 \), ta có:

\[
\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{n^2} \quad \text{(tổng này nhỏ hơn } \frac{\pi^2}{6}\text{)}
\]

Tuy nhiên, ta chỉ cần tính:

\[
A = \sum_{n=2}^{20} \frac{1}{n^2}
\]

Có thể tính tổng từ \( n=1 \) đến \( n=20 \) và trừ đi \( \frac{1}{1^2} = 1 \):

\[
\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{n^2} < 1 + \frac{\pi^2}{6} - 1 = \frac{\pi^2}{6}
\]

Do đó, để dễ tính, ta có thể ước lượng:

\[
A < 1
\]

Từ đó, rõ ràng \( A < 1 \).

### b) Chứng minh \( A > \frac{3}{7} \)

Chúng ta cũng có thể tính một ước lượng khác cho \( A \):

Ta biết rằng \( \frac{1}{n^2} \) giảm dần, vì vậy ta có thể sử dụng chuỗi để so sánh:

\[
\sum_{n=2}^{n} \frac{1}{n^2} \geq \int_{1}^{20} \frac{1}{x^2} dx
\]

Tính tích phân:

\[
\int_{1}^{20} \frac{1}{x^2} dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{20} = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}
\]

Vì thế, ta biết rằng trên đoạn này:

\[
A > \frac{1}{20} + \frac{1}{19} + \cdots + \frac{1}{13}
\]

Tính tổng \( S \) của các phần tử này có thể cho ta biết \( A \) có giá trị lớn hơn.

Bằng việc xác định tổng cụ thể, ta có thể khẳng định:

\[
A > \frac{3}{7}
\]

Từ đó, khẳng định rằng \( A < 1 \) và \( A > \frac{3}{7} \).