Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của CH, AH. Chứng minh:

Để giải bài tập này, ta sẽ chứng minh từng phần theo yêu cầu.

### Bài 1:
Đối với tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH:

a) **Chứng minh ΔABH ~ ΔCAH**:
- Hai tam giác này có chung góc A.
- Góc B = góc C (góc đối diện với cạnh huyền AC).
- Theo tiêu chuẩn tam giác đồng dạng (góc-góc), ta có ΔABH ~ ΔCAH.

b) **Chứng minh ΔABE ~ ΔCAD**:
- Tương tự như phần a, ta cũng có hai tam giác này có chung góc A và góc đối diện (góc E = góc D).
- Do đó, ΔABE ~ ΔCAD.

c) **Chứng minh AD ⊥ BE (2 cách)**:
1. Dùng định nghĩa về vuông góc: Nếu ΔABE ~ ΔCAD thì tỉ số các cạnh tương ứng sẽ bằng nhau dẫn đến góc ADE = góc ABE.
2. Sử dụng tính chất các tam giác vuông: Từ ΔABH ~ ΔCAH, ta có rằng nếu AD và BE cắt nhau tại H thì AD sẽ vuông góc với BE.

### Bài 2:
Cho tam giác ABC (A=90, AB ⊥ BC):

a) **Chứng minh ΔACB ~ ΔCEI**:
- Cũng tương tự, góc A là góc vuông và AE cũng là góc vuông với AC.

b) **Chứng minh AABIACAE**:
- Sử dụng tiêu chuẩn tam giác đồng dạng từ hình vẽ vuông góc.

c) **Chứng minh AE = BI**:
- Dựa vào tính chất của các đoạn thẳng vuông góc.

### Bài 3:
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD):

a) **Chứng minh ΔABH ~ ΔAACE**:
- Dùng tính chất hình bình hành và các góc.

b) **Chứng minh BECA ~ ADFC**:
- Dựa vào tính chất vuông góc của các cạnh và góc.

c) **Chứng minh AB·AE + AD·AF = AC²**:
- Sử dụng định lý Pythagore cho các phần của hình bình hành.

### Bài 4:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn:

a) **Chứng minh AE·AC = AF·AB**:
- Dựa vào tính chất các đường cao và các tia phân giác.

b) **Chứng minh AEF = ABC**:
- Áp dụng tỷ lệ về cạnh tương ứng.

c) **Chứng minh BH·BE + CH·CF = BC²**:
- Căn cứ vào các tam giác vuông.

Hãy tiến hành từng bước một theo các hướng dẫn và quy tắc hình học để hoàn thành bài tập.