Để chứng minh rằng

\[
AB^2 + BC^2 + AC^2 = BD^2 + 2AD^2 + 3CD^2
\]

cho tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) với đường cao \( CD \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và định lý Pytago.

### Bước 1: Sử dụng định lý Pytago

Xét tam giác vuông \( ACD \) và \( BCD \):

1. Trong tam giác vuông \( ACD \):
\[
AC^2 = AD^2 + CD^2
\]

2. Trong tam giác vuông \( BCD \):
\[
BC^2 = BD^2 + CD^2
\]

### Bước 2: Tính tổng các bình phương

Từ hai phương trình trên, ta có:

\[
AB^2 + BC^2 + AC^2 = (AB^2) + (BD^2 + CD^2) + (AD^2 + CD^2)
\]

### Bước 3: Áp dụng tính chất của tam giác cân

Vì tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), ta có:

\[
AB = AC
\]

do đó:

\[
AB^2 = AC^2
\]

Từ đó, ta có:

\[
2AC^2 + BC^2 = BD^2 + 2AD^2 + 2CD^2
\]

### Bước 4: Thay và đơn giản hóa

Ta biết rằng \( BC^2 = BD^2 + CD^2 \), thay vào ta được:

\[
2AC^2 + (BD^2 + CD^2) = BD^2 + 2AD^2 + 3CD^2
\]

### Bước 5: Kết luận

Cuối cùng, bạn có thể kết luận rằng:

\[
AB^2 + BC^2 + AC^2 = BD^2 + 2AD^2 + 3CD^2
\]

Như vậy, ta đã chứng minh xong.