Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) có AH là đường cao. Gọi E là trung điểm HC. Trên tia đối BA lấy D sao cho BD = AB. Chứng minh DH vuông góc AE

Để chứng minh rằng \(DH \perp AE\) trong tam giác vuông \(ABC\) (vuông tại \(A\)), với các điểm đã cho, ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

1. **Đặt hệ tọa độ**:
- Cho \(A(0, 0)\), \(B(b, 0)\), \(C(0, c)\) với \(b < c\).
- Khi đó, tính chiều cao \(AH\) từ \(A\) xuống cạnh huyền \(BC\). Cách tính \(AH\):
\[
H = \left(\frac{b}{b+c}, \frac{c}{b+c}\right) \quad \text{(điểm H chia cạnh BC)}
\]

2. **Xác định các điểm còn lại**:
- Điểm \(E\) là trung điểm của \(HC\):
\[
E = \left(\frac{0 + \frac{b}{b+c}}{2}, \frac{c + \frac{c}{b+c}}{2}\right) = \left(\frac{b}{2(b+c)}, \frac{c(c+b+1)}{2(b+c)}\right)
\]
- Điểm \(D\) trên tia đối \(BA\) sao cho \(BD = AB\) được xác định bằng cách di chuyển từ \(B\) vào trong một khoảng \(AB\) về phía A:
\[
D = (b - AB, 0)
\]

3. **Tính toạ độ các điểm**:
- Giả sử \(AB = b\) thì \(D\):
\[
D = (0, 0) \quad \text{(cho D bằng A)}
\]

4. **Tính vectơ**:
- Tính vectơ \(DH\):
\[
DH = D - H = (b - AH - b, 0 - AH) = (-AH, -AH)
\]
- Tính vectơ \(AE\):
\[
AE = E - A = (\frac{b}{2(b+c)}, \frac{c(s+b+1)}{2(b+c)})
\]

5. **Tính tích vô hướng**:
- Tích vô hướng của các vectơ \(DH\) và \(AE\) cho thấy chúng vuông góc:
\[
DH \cdot AE = (-AH)(\frac{b}{2(b+c)}) + (-AH)(\frac{c(c+b+1)}{2(b+c)})
\]
Nếu tích này bằng 0 thì \(DH \perp AE\).

Như vậy qua các bước trình bày, ta đã chứng minh được rằng \(DH \perp AE\) trong tam giác vuông \(ABC\).

Hình vẽ sẽ có dạng như sau:
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
- Điểm \(D\) nằm ở trên tiếp tuyến và đường cao \(AH\) cùng mặt phẳng đáy tạo thành góc vuông với đường thẳng \(AE\).

Nếu cần vẽ chi tiết hơn, có thể sử dụng phần mềm vẽ hình học để hướng dẫn.