Tìm x, y biết

Để giải hệ phương trình:

1. \( X + Y = 1 \) (1)
2. \( X^3 + Y^3 = 2 \) (2)

Chúng ta có thể sử dụng công thức kết hợp của tổng lập phương. Có công thức:

\[
X^3 + Y^3 = (X + Y)(X^2 - XY + Y^2)
\]

Từ phương trình (1), ta có \( X + Y = 1 \). Thay vào (2):

\[
X^3 + Y^3 = 1 \cdot (X^2 - XY + Y^2) = X^2 - XY + Y^2
\]

Bây giờ chúng ta cần tính \( X^2 + Y^2 \) bằng cách sử dụng công thức:

\[
X^2 + Y^2 = (X + Y)^2 - 2XY = 1^2 - 2XY = 1 - 2XY
\]

Thay vào phương trình \( X^3 + Y^3 \):

\[
1 - 2XY - XY = 2
\]
\[
1 - 3XY = 2
\]

Giải phương trình này cho \( XY \):

\[
-3XY = 2 - 1
\]
\[
-3XY = 1
\]
\[
XY = -\frac{1}{3}
\]

Bây giờ, chúng ta có hai phương trình:

1. \( X + Y = 1 \)
2. \( XY = -\frac{1}{3} \)

Giả sử \( X \) và \( Y \) là nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
t^2 - (X + Y)t + XY = 0
\]

Thay vào chúng ta có:

\[
t^2 - 1t - \frac{1}{3} = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{1 \pm \sqrt{1 + \frac{4}{3}}}{2}
\]
\[
= \frac{1 \pm \sqrt{\frac{7}{3}}}{2}
\]
\[
= \frac{1 \pm \frac{\sqrt{21}}{3}}{2}
\]

Vậy nghiệm là:

\[
X = \frac{1 + \frac{\sqrt{21}}{3}}{2} \quad \text{và} \quad Y = \frac{1 - \frac{\sqrt{21}}{3}}{2}
\]

hoặc ngược lại:

\[
X = \frac{1 - \frac{\sqrt{21}}{3}}{2} \quad \text{và} \quad Y = \frac{1 + \frac{\sqrt{21}}{3}}{2}
\]

Trả lời kết quả cuối cùng:

\[
X = \frac{1 + \frac{\sqrt{21}}{3}}{2}, \quad Y = \frac{1 - \frac{\sqrt{21}}{3}}{2}
\]
hoặc
\[
X = \frac{1 - \frac{\sqrt{21}}{3}}{2}, \quad Y = \frac{1 + \frac{\sqrt{21}}{3}}{2}
\]