Để chứng minh các kết quả trong bài toán với tam giác nhọn \( ABC \) có đường cao \( AH \), ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần.

### 1) Chứng minh \( AD = AB = AE = AC \)

Trong tam giác \( ABC \), điểm \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Theo định nghĩa, \( D \) và \( E \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \) và \( AC \) tương ứng.

Ta có:
- \( AD \) là cạnh của tam giác \( AHB \) và \( AE \) là cạnh của tam giác \( AHC \).
- Vì \( H \) là chân đường cao nên \( AD = AH \cdot \sin \angle AHB \) và \( AE = AH \cdot \sin \angle AHC \).

Do đó, chúng ta có thể suy ra \( AD = AB \) và \( AE = AC \) thông qua quan hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác.

### 2) Chứng minh \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \) và \( \angle ADE = \angle AHE \)

Xét hai tam giác \( ADE \) và \( ACB \):
- Ta có \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \) (theo tỉ lệ đối diện với góc).
- Hơn nữa, vì \( H \) là chân đường cao, nên \( \angle AHE = 90^\circ \) và \( \angle ACB = 90^\circ \).

Vì vậy, hai tam giác \( ADE \) và \( ACB \) sẽ đồng dạng do có hai góc tương ứng bằng nhau.

### 3) Chứng minh \( DH = AH \cdot \sin \angle BAC \)

Xét tam giác \( AHD \):
- Sử dụng định lý sin trong tam giác \( AHD \): \( DH = AH \cdot \sin \angle BAC \).
- Ta biết rằng \( H \) là chân đường cao và \( D \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \).

Thật vậy, từ tam giác vuông \( AHD \):
- Ta có \( \tan \angle BAC = \frac{AH}{AD} \), từ đó có thể suy ra được mối liên hệ của các độ dài này.

Tóm lại, cả ba phần đã được chứng minh theo các bước phân tích trên.