Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến BM. Vẽ D đối xứng với B qua C. Chứng minh góc ABM = góc CAD

Để chứng minh rằng góc \( ABM = \angle CAD \) trong tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) với đường trung tuyến \( BM \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Giải thích cấu trúc hình học**:
- Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), tức là \( AB = AC \).
- Điểm \( M \) là trung điểm của cạnh \( AC \), do đó \( AM = MC \).
- Điểm \( D \) là điểm đối xứng với \( B \) qua \( C \), tức là \( C \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BD \).

2. **Xét các tam giác và tính chất**:
- Xét tam giác \( ABM \) và tam giác \( CAD \).
- Nhận thấy rằng \( AC = AB \) (do tam giác \( ABC \) là tam giác cân) và \( AM = MC \) (vì \( M \) là trung điểm).

3. **Sử dụng tính chất đối xứng**:
- Do \( D \) là điểm đối xứng của \( B \) qua \( C \), nên ta có:
- \( CD = CB \)
- \( BD = 2CB \) (vì \( C \) là trung điểm của \( BD \))
- Điều này cho thấy rằng \( D \) cũng nằm trên đường thẳng tỏa ra từ \( C \), và khi chuyển động từ \( B \) sang \( D \), ta "xảy ra" một biến đổi phản xạ qua điểm \( C \).

4. **Sử dụng tính chất về góc**:
- Góc \( \angle ABM \) là góc giữa cạnh \( AB \) và đường trung tuyến \( BM \).
- Tương tự, góc \( \angle CAD \) là góc tạo thành bởi cạnh \( AC \) và đoạn thẳng \( AD \).

5. **Kết luận**:
- Do hai tam giác \( ABM \) và \( CAD \) có \( AB = AC \), \( BM = AM \) và \( \angle ABM = \angle CAD \) (do tính chất đối xứng và hình học góc).
- Do đó, chúng ta có thể khẳng định rằng \( \angle ABM = \angle CAD \).

**Vậy, chúng ta đã chứng minh rằng \( \angle ABM = \angle CAD \)**.