Để chứng minh các thông tin trong bài toán liên quan đến tam giác nhọn ABC và đường cao AH, ta sẽ thực hiện từng phần một.

1. **Chứng minh \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \)**:
- Xem xét tam giác AHD và AHE. Hai tam giác này có chung cạnh AH và tạo thành các góc tương ứng \( \angle ADH \) và \( \angle AEH \). Bởi vì \( DH \perp AB \) và \( EH \perp AC \), ta có hai cặp góc vuông.
- Áp dụng định lý Sin cho hai tam giác AHD và AHE, ta có:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AH}{ADH} \quad \text{và} \quad \frac{AE}{AC} = \frac{AH}{AEH}
\]
- Từ đó, ta có tỉ lệ giữa các cạnh của tam giác, dẫn đến kết luận \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \).

2. **Chứng minh \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \) và \( \angle ADE = \angle AHE \)**:
- Ta có rằng hai tam giác ADE và ACB đều có góc A chung và các góc tương ứng (ADH và AEH) đều vuông. Vậy suy ra:
\[
\angle ADE = \angle ACB
\]
- Từ đó, theo tiêu chuẩn góc-góc-góc, ta có \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \).

3. **Chứng minh \( DH = AH \cdot \sin \angle BAC \)**:
- Từ hai tam giác vuông AHD và AH, ta có:
\[
\sin(\angle BAC) = \frac{DH}{AH}
\]
- Nhân cả hai vế với AH sẽ cho \( DH = AH \cdot \sin(\angle BAC) \).

Vậy là ta đã chứng minh xong tất cả các phần trong bài toán.