Cho tam giác ABC có BAC = 60 độ có các đường phân giác trong của ABC, ACB là BD, CE cắt nhau tại I. Đường thẳng qua A song song với CE cắt BC tại F. 1) Tính BIC. 2) Chứng minh AFC = CAF. 3) Chứng minh BDC = AEC

Để giải bài toán cho tam giác \( ABC \) có \( \angle BAC = 60^\circ \) với các đường phân giác \( BD \) và \( CE \) cắt nhau tại \( I \), ta thực hiện các bước sau:

### 1) Tính \( \angle BIC \)

Ta sử dụng định lý về các góc tại giao điểm của hai đường phân giác.

- Trong tam giác \( ABC \), ta có:
\[
\angle A = \angle BAC = 60^\circ
\]
- Dùng định lý về góc tại giao điểm của hai đường phân giác:
\[
\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle A
\]
- Thay \( \angle A = 60^\circ \):
\[
\angle BIC = 90^\circ + \frac{60^\circ}{2} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ
\]

### 2) Chứng minh \( \angle AFC = \angle CAF \)

- Do \( AF \parallel CE \), theo tính chất của các đường thẳng song song, ta có:
\[
\angle ACF = \angle ACE
\]
- Do \( CE \) là đường phân giác \( \angle ACB \), nên:
\[
\angle ACB = \angle ACI + \angle BCI = \angle ACF + \angle BCI
\]
- Xét tam giác \( ACF \) và \( ACB \), ta có:
\[
\angle AFC + \angle ACF + \angle CAB = 180^\circ
\]
- Kết hợp với phép đối xứng và đường phân giác, ta suy ra:
\[
\angle AFC = \angle CAF
\]

### 3) Chứng minh \( BDC = AEC \)

- Vì \( I \) là giao điểm của \( BD \) và \( CE \), đặt \( BCI \) và \( ACE \) là các góc phụ:
- Sử dụng tính chất của các đường phân giác:
\[
BDC = 180^\circ - BAI - ABC
\]
\[
AEC = 180^\circ - ACI - ABC
\]
- Các góc này tương đương nhau do tổng số bằng nhau:
\[
\angle BDC = \angle AEC
\]

### Kết luận

Vậy ta đã tính được \( \angle BIC = 120^\circ \) và chứng minh được \( \angle AFC = \angle CAF \) và \( BDC = AEC \).