Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh \(\triangle AEB \cong \triangle ADB\)

- **Giả thiết**: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(AH\) là đường cao. \(H\) thuộc cạnh \(BC\).
- **Chứng minh**:
1. Có \(AE \perp BD\) tại \(E\).
2. Xét các góc:
- \(\angle AEB = \angle ADB\) (góc chung).
- \(\angle ABE = \angle ADB = 90^\circ\) (góc vuông tại \(A\)).
3. Sử dụng định lý cạnh huyền:
- \(AB = AD\) (cạnh huyền của hai tam giác vuông).
4. Kết luận từ tiêu chí \(Góc - Cạnh - Góc\) để có \(\triangle AEB \cong \triangle ADB\).

### b) Chứng minh \(BE \cdot BD = BH \cdot BC\)

- **Chứng minh**: Áp dụng định lý Pytago cho các tam giác vuông:
1. Trong tam giác \(BHE\) và \(BHC\):
- Có \(\triangle BHE \sim \triangle BHC\) do góc vuông tại \(H\) và góc chung \(B\).
2. Từ đó, ta có:
\[
\frac{BE}{BH} = \frac{BC}{BH}
\]
3. Kết quả là:
\[
BE \cdot BH = BH \cdot BC \Rightarrow BE \cdot BD = BH \cdot BC
\]

### c) Chứng minh \(BHE = BDC\)

- **Chứng minh**:
1. Xét hai tam giác \(BHE\) và \(BDC\):
- Cả hai cùng có một góc vuông tại \(H\) và đều có \(BE = BC\).
- Các cạnh tương ứng cũng sẽ thỏa mãn điều kiện.
2. Do đó, từ các góc tương ứng (góc vuông) và các cạnh tương ứng thì hai tam giác này sẽ đồng dạng.
3. Kết luận:
\[
\triangle BHE \sim \triangle BDC
\]

Hy vọng lời giải này giúp bạn! Nếu có thắc mắc gì thêm, hãy cho tôi biết!