Để viết đa thức \( A = n^3 - n \) dưới dạng một tích, ta có thể bắt đầu từ việc khai thác biểu thức này.

Ta nhận thấy rằng:
\[
A = n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1).
\]
Biểu thức \( n(n-1)(n+1) \) có nghĩa là tích của ba số liên tiếp: \( n \), \( n-1 \), và \( n+1 \).

Bây giờ, để chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 2 và 3, vì 6 = 2 × 3.

### Chứng minh \( A \) chia hết cho 2:
Trong ba số \( n \), \( n-1 \), và \( n+1 \), ít nhất một trong số chúng phải là số chẵn (do ba số này liên tiếp). Do đó, tích \( n(n-1)(n+1) \) chắc chắn chia hết cho 2.

### Chứng minh \( A \) chia hết cho 3:
Xét ba số liên tiếp \( n \), \( n-1 \), và \( n+1 \). Trong ba số này, ít nhất một số sẽ chia hết cho 3. Có ba trường hợp:

1. Nếu \( n \) chia hết cho 3, thì \( A \) chia hết cho 3.
2. Nếu \( n-1 \) chia hết cho 3, thì \( A \) cũng chia hết cho 3.
3. Nếu \( n+1 \) chia hết cho 3, thì \( A \) vẫn chia hết cho 3.

Vậy, trong mọi trường hợp, \( A \) chắc chắn chia hết cho 3.

### Kết luận:
Vì \( A \) chia hết cho 2 và 3, nên \( A \) cũng chia hết cho 6. Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng \( n^3 - n \) chia hết cho 6 cho mọi số nguyên \( n \).

Tóm lại:
\[
A = n^3 - n = n(n-1)(n+1) \text{ và } A \text{ chia hết cho 6}.
\]